点推定

点推定について

点推定（てんすいてい）とは、推計[[統計学]]における手法の一つで、観測されたデータに基づいて未知の値を推測する技術を指します。この手法によって得られる推定値は、平均値や中央値、最頻値などさまざまな統計量を用いて表されます。特に、点推定は推定量を得る際に非常に重要な役割を果たします。

点推定を行う際には、観測データから算出される尤度関数を用いることが一般的です。この尤度関数を最大にする推定量が最尤推定と言われ、事前分布が存在しない場合に使用される手法です。逆に、事前分布がある場合は最大事後確率推定が適用されます。推定値を記号に表す際には、その上に「＾」マークを付けるのが標準的な表記です。

正規分布における点推定

正規分布を考える場合、分布は主に平均値と標準偏差の二つのパラメータによって定義されます。正規分布の特性上、点推定の手法には不偏推定や最尤推定がありますが、これらの推定方法から得られる結果はしばしば異なります。一般的には不偏推定が好まれます。

不偏推定の概要

不偏推定での標準偏差は、標本分散ではなく不偏分散を基に計算されます。不偏推定を行う際、母平均と母標準偏差の推定値は次の式で算出されます。

$$
\hat{\mu} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_{i}
$$

$$
\hat{\sigma} = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n} (x_{i} - \hat{\mu})^{2}}{n - 1}}
$$

ここで、$n$は標本の数、$x_{i}$は観測値を表します。

最尤推定の概要

最尤推定では尤度関数の最頻値を求め、母平均と標準偏差を次のように算出します。

$$
\hat{\mu} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_{i}
$$

$$
\hat{\sigma} = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n} (x_{i} - \hat{\mu})^{2}}{n}}
$$

母集団の分布が歪んでいる場合、単に平均値を使うよりも中央値や最頻値を検討した方が分布の性質をより正確に捉えることができます。

ベイズ点推定

ベイズ[[統計学]]においては、点推定の考え方がさらに発展します。ここでは、事後確率分布を通じて得られた情報を基に推定値を求める傾向があります。通常、点推定には以下の三つのアプローチが使用されます：

1. 平均値 - 事後期待値
2. 中央値 - 事後中央値
3. 最頻値 - 事後確率の最大値、この値が最大事後確率と呼ばれます。

これらの推定手法により、点推定はデータに対して柔軟であり、事前知識を活用することでより精緻な予測が可能になります。

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