熱場の量子論

熱場の量子論

熱場の量子論、または有限温度の場の理論は、理論物理学における重要な分野であり、有限温度下における量子場理論の観測量の期待値を計算するための一連の手法です。この理論は、物体が特定の温度にあるときのみ観察可能な物理的特性を研究するための基盤を提供ます。特に、松原の定式化はこの分野の基本的なアプローチとして知られています。

松原の定式化によって、熱アンサンブルにおける作用素の期待値が次のように定義されます。

$$
⟨ A ⟩ = \frac {\text{Tr}[\exp(-\beta H) A]}{\text{Tr}[\exp(-\beta H)]}
$$

ここで、$\beta$ は温度に依存し、$H$ はハミルトニアンを表します。この定式化により、量子場理論の期待値が計算されることが可能になり、またこのアプローチは虚時間とユークリッド計量との関係を深める役割も果たします。

ユークリッド時間と松原周期

仮想時間$\tau$は、次のように定義されます：
$$
\tau = -i t ext{ (0 ≤ τ ≤ β)}
$$

この仮想時間を使うことで、ユークリッド計量を持つ時空間に切り替えることができます。具体的には、自然単位系$\hbar = 1$を用いた場合、ユークリッド時間の周期は$\beta = 1/(kT)$として定義され、ボゾニックな場は周期的であり、フェルミオニックな場は反周期的であることが要求されます。このような設定により、経路積分やファインマン図のような量子場理論の一般的な手法を通じて計算を行うことが可能になります。

動的特性と熱エネルギースペクトル

運動量空間では、松原周期を使って連続周期と離散的な虚周期$ v_n = n/\beta $との関係が現れます。この関係により、量子場の熱エネルギースペクトルは$ E_n = n k T $として定義され、有限温度における量子場の振る舞いを理解するための強力な手段となります。

ゲージ不変性と応用

松原の定式化は、ゲージ不変性を持つ理論へも広がり、ヤン・ミルズ理論の非閉じ込め相転移の解明に寄与しています。このような理論においては、実時間での観測量を解析的に接続することで回復することも可能です。

ケルディッシュ形式

もう一つの有力なアプローチはケルディッシュ形式であり、実時間定式化に基づく方法です。この形式では、初期実時間を大きな負の値に設定し、虚時間の定義を通じて分析を行います。このプロセスでは、経路を整形して複素時間における積分を考慮し、場の拡張とファインマン規則を改良することが求められます。

他の技術と数理物理学

また、ボゴリューボフ変換を用いるアプローチや、分散関係式やクツォスキー規則など、実時間での技術の多くも熱場の力学として適用されます。さらに、KMS状態に基づく理論も数理物理学の分野で注目を集めています。

このように、熱場の量子論はさまざまな分野で応用されるとともに、物理学の理解を深める鍵となる理論です。

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