球対称

球対称性：数学と物理における回転不変性

この文書では、数学と物理学における重要な概念である球対称性について解説します。球対称性とは、対象が中心を通る任意の軸周りの回転に対して不変である性質です。回転しても形状や性質が変わらないということです。

数学における球対称性

数学において、球対称性は幾何学的対象と関数という二つの文脈で現れます。

1. 幾何学的対象:

初等幾何学における球対称な対象は、中心を通る任意の軸の周りを何度回転させても、元の形状と区別がつかないものです。三次元空間では、球体が代表的な例です。中身が詰まっていない場合、同心球面の集合も球対称です。球対称な対象の位置を示すには、中心からの距離（動径）のみを考えれば十分で、方向は関係ありません。

2. 関数:

関数において、球対称（または回転不変）とは、関数の値が引数の回転に対して不変であることを意味します。例えば、関数 f(x, y) = x² + y² は、原点を中心とした回転に対して不変です。これは、x² + y² が原点からの距離の二乗を表すからです。より一般的には、空間上の変換や作用素についても、回転と両立する意味で球対称性を定義できます。例えば、二次元ラプラス作用素は球対称です。ラプラス作用素とは、関数の空間的な変化を表す微分演算子であり、この演算子を回転させた関数に適用しても、関数を先に回転させてから適用した場合と同じ結果になります。

物理学における球対称性

物理学において、球対称性は場の記述や系の対称性の議論において重要な役割を果たします。

1. 球対称な場:

物理学における球対称な場は、放射状場と呼ばれます。これは、場の強さが中心からの距離のみの関数であり、方向には依存しないことを意味します。例えば、点電荷による電場は球対称です。

2. 系の対称性:

物理系のラグランジアンが球対称である場合、その系は空間の向きに依らず同じ挙動を示します。この場合、ネーターの定理により、系の角運動量は保存されます。ネーターの定理は、物理系の対称性と保存則の間の深い関係を示す重要な定理です。回転対称性（球対称性の一種）がある場合、角運動量が保存されることが保証されます。これは、例えば、惑星が太陽の周りを回る際の角運動量の保存を説明する際に用いられる重要な概念です。

関連概念

球対称性と密接に関連する概念として、以下のものがあります。

等方性: 物理的性質が方向に依存しない性質。球対称性は等方性の一種と言えるでしょう。
回転対称: ある軸周りの回転に対して不変である性質。球対称性は、あらゆる軸周りの回転に対して不変である、より強い条件です。
* 軸対称: 特定の軸周りの回転に対して不変である性質。球対称性と比較すると、対称性が限定されています。

まとめ

球対称性は、数学と物理学の様々な分野で重要な役割を果たす概念です。幾何学的対象、関数、物理的場など、様々な対象に適用され、その対称性から保存則などの重要な物理的性質が導き出されます。ネーターの定理は、球対称性を含む対称性と保存則の関連性を明確に示しており、物理学における基礎的な概念の一つです。

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