磁気双極子

磁気双極子についての詳細

磁気双極子は、無限小のサイズで円環状に電流が流れることにより生じる磁場を指します。具体的には、円周の面積 S の上を電流 I が流れる場合、この流れの方向や強さによって磁気双極子の性質が決まります。特に、厳密に言うと磁気双極子とは、電流が右ねじの向きで流れているとき、その流れによって発生するベクトル m を表現するものです。

定義と特性

ループ電流による定義に基づくと、次の式で磁気モーメント m が表されます。

$$m = I oldsymbol{S}$$

ここで、ベクトルの向きは電流に垂直です。この円形の電流を原点の周りに配置し、面積 S を無限に小さくする極限を考えると、これが磁気双極子に該当します。このときの m は「磁気モーメント」と呼ばれ、真空の透磁率 μ₀ を掛けたものが「磁気双極子モーメント」として示されます。

$$oldsymbol{p}_{m} = oldsymbol{ ext{μ}}_{0} oldsymbol{m}$$

この磁気モーメントと磁気双極子モーメントは、異なる状況で用いられるため、文献によっては同じ意味で使われることもあります。混乱を避けるために、どの用語が使われているのか確認することが重要です。

次に、磁荷の対による定義があります。ここでは、仮想的に正負の磁荷 ±qm が距離 d/2 で対になって存在すると仮定します。このとき、ベクトル m は以下のように定義されます。

$$m = rac{1}{μ₀} qm d$$

この設定において d を無限に小さくすると、得られる極限は磁気モーメント m の磁気双極子として扱われます。外部から見ると、この磁荷の対による磁気双極子はループ電流によるものと同一視できますが、双極子の内部における磁場は異なります。

分布する電流と磁性体

電流密度 i(r) が原点の近くで流れているとき、遠方から見ると磁気双極子のように振る舞います。このときの磁気モーメントは次の式で表されます。

$$m = rac{1}{2} ag{1}
ext{∫} oldsymbol{r} imes oldsymbol{i}(oldsymbol{r}) ext{d}^{3}r$$

また、磁性体が分布している場合、その単位体積あたりの磁気モーメント（磁化）を M(r) とすると、全体の磁気モーメントは次のように表されます。

$$m = ext{∫} M(r) ext{d}^{3}r$$

このように、分布する電流や磁性体が生じる磁気モーメントは、磁気双極子の特性を反映しているのです。

磁気双極子の磁場

原点に磁気モーメント m が存在するとき、その周辺の磁場を求めると、位置 r におけるベクトルポテンシャル A は次のように表現されます。

$$A(r) = rac{μ₀}{4π} rac{m imes r}{r^{3}}$$

また、磁束密度 B は次の式で表されます。

$$B(r) = rac{μ₀}{4π} igg[ rac{3r (m ullet r)}{r^{5}} - rac{m}{r^{3}} igg]$$

これにより、磁気双極子の周囲に形成される磁場の特性が明らかになります。

外部磁場における力とトルク

磁気双極子が外部の磁場 B に置かれた場合、トルク τ は以下の式で与えられます。

$$τ = m × B$$

また、異なる外部磁場の中で、ループ電流が形成する磁気双極子には、次のような力が働きます。

$$F_{loop} = ext{grad}(m ullet B)$$

一方、もし磁気単極子が存在する場合、この力の式はさらに修正されます。

$$F_{loop} = (m × ∇) × B$$

最後に、磁荷の対によって生まれる磁気双極子の場合、受ける力は次のように示されます。

$$F_{dipole} = (m ullet ∇) B$$

これらの式は、磁気双極子が外部の磁場から受ける影響を具体的に示します。

このように、磁気双極子はその性質によってさまざまな物理現象に関連し、電磁気学についての深い理解を提供します。

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