磁気流体力学

磁気流体力学（MHD）

磁気流体力学（MHD）は、電気伝導性を持つ流体がどのように運動し、周囲の電磁場と相互作用するかを探求する物理学の分野です。しばしば電磁流体力学とも呼ばれ、英語のMagnetohydrodynamicsの頭文字をとってMHDと略記されます。この分野では、流体の運動が磁場を変化させ、その変化が電流を生み出し、さらにその電流と既存の磁場との間に働く力が流体の運動に影響を与えるという、複雑なフィードバック機構が研究対象となります。

この学問が扱う主な物質は、水銀や地球の液体の外核のような液体金属、あるいは太陽コロナや星間空間、核融合炉内のプラズマといった電離気体です。解析には、流体の運動を記述するナビエ・ストークス方程式や連続の式といった流体力学の基本法則と、電磁場の振る舞いを定めるマクスウェル方程式が組み合わせて用いられます。

歴史的背景

MHDの研究は、1942年にスウェーデンの物理学者ハンス・アルヴェーンが、宇宙における様々な現象の理解を目指す過程で発表した論文に端を発します。この論文は、後に「アルヴェーン波」として知られることになる、磁場中の電気伝導性流体に特有の波動の存在を示したものでした。アルヴェーン自身を含む多くの研究者の尽力により、MHDは急速に発展し、現在では宇宙空間物理学や熱核融合研究など、多岐にわたる分野の基礎理論として広く利用されています。ハンス・アルヴェーンは、その「電磁流体力学の基礎研究、プラズマ物理学への応用」に関する功績が認められ、1970年にノーベル物理学賞を受賞しました。

理論の基礎と主要な仮定

MHDでは、実際の現象を効率的に解析するために、いくつかの有効な近似に基づいた仮定がしばしば採用されます。まず、対象とする流体は電気伝導度が比較的高い物質であるため、導体の電気力学と同様に、電場によって引き起こされる変位電流は無視されることが一般的です。この仮定のもとでは、磁場Bと電流jはアンペールの法則 `rot B = μj` によって関連付けられます。ここでμは流体の透磁率であり、しばしば定数とみなされます。

次に、流体は全体としてほぼ電気的に中性であると仮定され、電荷を流体が運ぶことによって生じる対流電流は、電場の作用による伝導電流に比べて小さいとして無視されます。したがって、電流は伝導電流のみであるとされ、その大きさは拡張されたオームの法則 `j = σ(E + v × B)` に従うとされます。ここでσは流体の電気伝導度、vは流体の速度、Eは電場です。ただし、この仮定は流体中の電荷密度ρeが完全にゼロであるということではありません。

これらの仮定と、電磁誘導に関するマクスウェルの法則 `rot E + ∂B/∂t = 0` を組み合わせることで、電場Eを消去し、磁場の時間的な変化を記述する重要な方程式である「誘導方程式」が得られます。
`∂B/∂t = rot(v × B) + (1/σμ)ΔB`
ここで、第1項 `rot(v × B)` は流体の運動による磁場の移流（対流）を表し、第2項 `(1/σμ)ΔB` は磁場の拡散を表します。

さらに、流体の運動方程式においては、電荷密度が小さいことから電場による力は無視され、流体に作用する力は磁場と電流の相互作用によるローレンツ力 `j × B` のみであるとされます。

このようにして、流体の速度vと磁場Bに関する方程式系が構成され、見かけ上、電場Eはこれらの基本変数から消去された形になります。これが「磁気流体力学」という名称の由来ですが、電流の発生を規定するという意味で電場の役割は依然として本質的であり、具体的な問題を解く際には電場を考慮する必要が生じることもあります。

MHDにおける重要な概念

MHDには、現象の理解に役立ついくつかの重要な概念があります。流体に作用するローレンツ力 `f = j × B` は、数学的な変形により、磁場自身の「圧力」と「張力」として解釈することができます。具体的には、この力は磁力線に垂直に働く圧力 `B^2/2μ` と、磁力線が湾曲している場合にそれを引き延ばそうとして曲率中心方向へ働く張力 `B^2/μ` の組み合わせであると考えることができます。

また、電気伝導度σが非常に大きい流体（理想導体）を考える場合の極限を「理想MHD」と呼びます。この理想MHDは、多くの宇宙プラズマ現象を記述する上で非常に有用な近似です。理想MHDにおいては、拡張されたオームの法則が `E = -v × B` と簡略化され、誘導方程式は拡散項が無視されて `∂B/∂t = rot(v × B)` となります。理想MHDが適用できる条件は、流れの代表的なスケールで定義される無次元量「磁気レイノルズ数」 `Rm = σμUL` （U: 代表速度、L: 代表長さ）が1より十分大きい `Rm ≫ 1` ことです。宇宙プラズマや非常に高温のプラズマでは、この条件が満たされることが多いです。

理想MHDの最も際立った特徴の一つは、「磁力線と流体との凍り付き（froze in）」と呼ばれる現象です。これは、理想MHDの誘導方程式 `∂B/∂t = rot(v × B)` が示唆するように、磁力線がある点の流体速度vで移動する、すなわち磁力線が流体粒子と一緒に動くかのように振る舞うことを意味します。これにより、磁力線が流体によって運ばれたり、あるいは磁力線自体が質量を持つ実体のように流体を引っ張って運動したりする描像が得られます。一方、電気伝導度σが有限である場合、誘導方程式の拡散項 `(1/σμ)ΔB` が重要になり、磁場は流体中をゆっくりと拡散します。この磁場拡散には緩和時間 `tc = σμL^2` が存在し、凍り付きが完全ではないことを示します。

MHDで重要なもう一つの無次元量は「プラズマベータ」 `β = p / (B^2/2μ)` です。これは流体の熱的な圧力pと磁場の圧力 `B^2/2μ` の比を表します。プラズマベータが1より大きい場合は流体の圧力が支配的で、流体の運動が磁力線を動かす傾向が強く、ベータが1より小さい場合は磁場が支配的で、磁力線が流体を束縛し、磁力線の運動が流体の運動を決定づける傾向が強くなります。

応用例：アルヴェーン波

MHDの重要な現象の一つに「アルヴェーン波」があります。これは、張力Tと線密度ρを持つ糸に横波が伝わる速度が `sqrt(T/ρ)` であることと類推して理解できます。理想MHDにおける磁力線は流体に凍り付いているため、単位断面積の磁力管を考えると、それは流体の質量密度ρmを持つ「糸」と見なすことができます。この磁力管には、磁場の張力 `B^2/μ` が働いています。したがって、磁気流体中では、磁力線に沿って伝わる横波が存在し、その速度は `vA = B / sqrt(σμ)` となります。これがアルヴェーン波であり、宇宙空間などで観測される重要な現象です。

MHDは、MHD発電、プラズマ宇宙論、地球や天体の磁場発生を説明するダイナモ理論など、幅広い応用分野を持つ活発な研究領域です。

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