稠密部分加群

稠密部分加群についての解説

抽象代数学の一分野である加群論において、稠密部分加群は特に重要な概念です。ここでは、加群の最も基本的な性質に基づいた稠密部分加群の定義、性質、応用について詳細に解説します。

定義

加群 $M$ の部分加群 $N$ が稠密部分加群であるとは、$M$ のすべての元 $x
eq 0$ と任意の元 $y$ に対して、ある元 $r
eq 0$ が存在し、$xr
eq 0$ かつ $yr$ が $N$の元であることを意味します。この性質は、数式としては $x(y^{-1}N)
eq \{0\}$ とも表現されます。ここで、$y^{-1}N$ は $y$ により引き起こされる逆の作用を示しています。

もう一つの定義は、ホモロジー理論に関連するもので、$N$ が $M$ において稠密であることと、$\mathrm{Hom}_R(M/N, E(M)) = \{0\}$ であることが同値となります。

性質

1. 本質部分加群との関係: $N$ が $M$ の本質部分加群であることは、任意の元 $y
eq 0$ に対して $y \cdot (y^{-1}N)
eq \{0\}$ であることと同じです。従って、すべての稠密部分加群は本質部分加群であることが示されます。
2. 非特異加群: $M$ が非特異加群のとき、$N$ の稠密性と本質性は同値です。これは加群の性質が重要であることを示唆しています。
3. 右非特異環との関係: 環が右非特異であれば、すべての本質右イデアルは稠密右イデアルです。
4. 加群の交差: $N$ と $N'$ が両方とも稠密部分加群であれば、その交集合 $N ∩ N'$ もまた稠密部分加群であることが示されています。
5. 部分包含の伝播: $N$ が稠密で $N ⊆ K ⊆ M$ ならば、$K$ もまた稠密であるという性質も存在します。

例

• - 中心の非零因子 $x$ がある環 $R$ に対して、$xR$ は $R$ の稠密右イデアルです。
• - 両側イデアル $I$ が右イデアルとして稠密であるための条件は、$I$ の左零化イデアルが零であること、つまり $\ell \cdot \mathrm{Ann}(I) = \{0\}$ であることと同値です。特に、可換環の場合、稠密イデアルは忠実加群であるイデアルに一致します。

応用

加群の有理包

すべての右 $R$ 加群 $M$ は、移入包絡 $E(M)$ という極大本質拡大を持ちます。加群が真の有理拡大を持たず、$\tilde{E}(M) = M$ であるとき、その加群を「有理的に完備されている」と言います。右非特異環の場合、明らかに $\tilde{E}(M) = E(M)$ となります。

極大右商環

極大右商環は、$R$ の稠密右イデアルと関連して、二つの方法で記述できます。1つは、$\tilde{E}(R)$ が自己準同型環と同型であることが示され、その中での環構造が自動的に引き継がれます。もう1つの方法は、極大右商環は $R$ の稠密右イデアルから $R$ への準同型の同値類の集合と見なすことができます。

まとめ

このように、加群論における稠密部分加群の概念は、その定義、性質、及び応用において非常に重要です。多くの定義や性質が相互に関連しており、加群や環の構造を理解するための鍵となります。さらなる研究には、関連する文献を通じた学習が不可欠です。

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