角の三等分問題

角の三等分問題とは

角の三等分問題とは、与えられた任意の角を、目盛りのない定規とコンパスのみを用いて三等分する作図方法を求める、古代ギリシャ発祥の幾何学における古典的な作図問題です。

この問題は、一見すると単純で理解しやすい内容ですが、実は非常に難解な問題であり、長きにわたり多くの数学者を悩ませてきました。そして、1837年にピエール・ヴァンツェルによって、一般にはこの問題を解くことが不可能であることが証明されました。

問題の概要

具体的には、任意の角度が与えられた際に、その角度のちょうど1/3の角度を、目盛りのない定規（直線を引くためだけに使用）とコンパス（円を描くためだけに使用）のみを使って作図することが可能かどうか、という問題です。

例えば、60度の角度が与えられた場合、定規とコンパスだけを使って20度の角度を作図できるか、ということを問うています。

不可能性の証明

ヴァンツェルによって証明されたのは、「一般には」不可能である、ということです。つまり、ある特定の角については三等分が可能ですが、すべての角に対しては、定規とコンパスのみを使った三等分は不可能である、ということです。

例えば、90度の角（直角）は、比較的容易に三等分することができます（30度の角を作図できます）。しかし、60度の角の三等分（20度の角を作図すること）は、定規とコンパスのみでは不可能であることが、複素数などを用いた高度な数学によって証明されています。

その他の作図方法

定規とコンパスによる作図は不可能ですが、他の道具を使用すれば、角の三等分は可能です。古代ギリシャ時代から知られていたネウシス作図はその一つです。これは、目盛り付きの定規をスライドさせながら回転させることで作図する方法で、定規とコンパスでは不可能だった作図を可能にします。

また、数学者たちは何世紀にもわたり、様々な方法で角の三等分を試みてきました。

疑似解法について

角の三等分問題の内容自体は単純なため、しばしば疑似数学的な試みの対象となります。これらの「解法」は、作図のルールを誤って解釈したり、単純な計算間違いが含まれていることがほとんどです。

角の三等分問題の不可能性の証明は高度な数学を必要とするため、その証明を理解していない人々が、「自分は解法を見つけた」と主張するケースが後を絶ちません。しかし、これらの主張は数学的な厳密性に欠けるため、正しい解法として認められることはありません。

角の三等分問題の意義

角の三等分問題は、古代ギリシャの数学者が抱いた純粋な疑問から生まれたものであり、その探求の過程で、様々な数学的な概念や理論が発展してきました。この問題は、数学の奥深さ、そして、一見単純な問題でも解決が非常に難しい場合があることを示しています。

また、数学的な厳密性の重要性を教えてくれる題材としても、教育現場などで活用されています。

まとめ

角の三等分問題は、定規とコンパスによる作図の限界を示した重要な問題です。この問題の解決を通じて、数学は大きく発展しました。そして、この問題が未だに人々の好奇心を掻き立てる、魅力的な数学の問題であることに変わりはありません。

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