符号の規約

符号の規約とは

物理学における符号の規約とは、特定の量に対して正または負の符号を任意に選定できるときのその選び方を指します。この「任意」という概念は、異なる符号規約を使っても、同じ物理系を一貫して正確に記述できるという意味を持ちます。したがって、同じ物理的現象でも、著者により異なる符号が使用されることがあり、これが時に混乱や誤解を招く要因となります。一般的には、符号の選択は座標系選定の特別な状況にあたると言えるでしょう。

相対論と計量符号

特に相対性理論では、計量符号は二つの主要な体系に分類されます。具体的には、計量テンソルが ( +, −, −, − ) または ( −, +, +, + ) のいずれかの形式を取ります。これらはそれぞれ、 diag(+1, −1, −1, −1) および diag(−1, +1, +1, +1) に対応しており、他の高次元理論でも同様の形式が適用されます。

計量符号のそれぞれには、以下のように多様な呼称が存在します。

• - ( +, −, −, − )

- 時間的規約
- 粒子物理学の規約
- 西海岸規約
- ほとんど負
- ランダウ・リフシッツの規約

• - ( −, +, +, + )

- 空間的規約
- 相対論の規約
- 東海岸規約
- ほとんど正
- パウリ規約

これらの符号規約は、いくつかの著名な教科書や資料において用いられています。たとえば、ランダウ・リフシッツの『理論物理学教程』や、Louis Witten監修の「Gravitation: An Introduction to Current Research」などが前者の規約を採用しているのに対し、Sean Carrollの「Spacetime and Geometry: An Introduction to General Relativity」や、Robert Waldの「General Relativity」は後者の形式を用いています。

曲率の定義

リッチテンソル Rμν の定義は、リーマンテンソル Rμναβ の縮約によって行われますが、この縮約には二通りの方法があります:

1. Rμν = Rαμαν
2. Rμν = Rαμνα

リーマンテンソルの対称性により、これら二つの定義は符号の取り方だけが異なるだけです。さらに、リーマンテンソル自体についても異なる符号選択での二通りの定義が存在します。こうした異なる定義を組み合わせて用いることで、場所によらず同じ物理的結果を得ることが可能になります。

その他の符号の規約

物理学にはその他にも多岐にわたる符号選択の規約があります。たとえば、参照系における時間と固有時の符号選択では、未来を +、過去を − とするのが一般的です。また、ディラック方程式における ± の選択や、電荷や場の強度テンソル Fμν の符号もその一例です。

さらに、正周波数波の時間依存性については、物理学者が e−iωt を用いることが多く、工学者は e+iωt を選ぶ傾向があります。フーリエ変換における積分核のサインもまた、e−ikx と e+ikx の選択において分かれることがしばしばです。

これに加え、誘電率の虚部の符号、光学における光学面の距離や曲率半径の符号、熱力学における仕事の符号など、様々な分野での符号選択の規約が存在します。著書や論文においては、使用する符号の規約を明示することが習慣となっています。

結び

物理学での符号の選択は、研究や記述の明確性に直結する非常に重要な要素です。異なる符号規約を理解することで、様々な物理的現象をより深く洞察することが可能になります。

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