第一可算的空間

第一可算空間とは

数学の位相空間論において、第一可算空間とは、特定の性質を満たす位相空間を指します。この空間では、任意の点が高々可算な近傍から成る基本近傍系を有することを意味しています。つまり、ある点 x に対して、可算な個数の開近傍 U1, U2, … が存在し、任意の近傍 V はこれらの内のいずれかの近傍に含まれるということを示しています。

第一可算空間の例と反例

一般に、日常的に使われる空間のほとんどは第一可算的性質を持っています。特に、距離空間は全て第一可算的です。これは、各点 x に対して、その点を中心とする半径 1/n の開球の系列が、その点の可算な基本近傍系を構成するためです。

一方で、第一可算的でない空間も存在します。例えば、補有限位相を考えた非可算集合（実数直線など）や、順序数空間 ω1+1 = [0, ω1] がその例です。この場合、点 ω1 は特定の点列を持たず、基本近傍系を形成することができません。

商位相空間 R/N（実数直線上の自然数を一つの点とする空間）も第一可算的ではありません。しかし、この空間は特有の収束性を持ち、任意の部分集合 A の閉包にある点 x に対し、A の点列で x に収束するものが存在します。このような空間はフレシェ・ウリゾーン空間と呼ばれます。

第一可算空間の性質

第一可算空間の特徴の一つは、閉集合と開集合が点列の収束によって特徴づけられる点です。さらに、部分集合 A の閉包に点 x が属するための必要十分条件は、A の点列 {xn} が x に収束することです。このことから、フレシェ・ウリゾーン空間であることが分かります。

仮に f が第一可算空間上の写像であれば、もとの点 x で極限値 L を持つことと、点列 {xn} が x に収束する場合に、各 n に対し x ≠ xn であることから、点列 {f(xn)} が L に収束することが同等であることが示されます。また、第一可算空間上の写像 f が連続であるためには、xn → x の時に F(xn) → f(x) が常に成り立つ必要があります。

T1条件を満たす第一可算的空間では、点列コンパクト性と可算コンパクト性が同値です。しかし、点列コンパクトながら、コンパクトでない例も存在します。例えば、順序数空間 ω1 = [0, ω1) がその一例です。さらに、第一可算空間はコンパクト生成空間としての性質も持っています。

また、第一可算空間の部分空間もまた第一可算的であり、可算個の直積は第一可算的ですが、非可算個の直積ではその性質を保証しないことも知っておくと良いでしょう。

関連項目

• - 第二可算的空間
• - 可分空間

このように、第一可算空間は数学の位相空間論において重要な役割を果たしており、さまざまな理論や応用に利用されています。

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