補有限

補有限集合の概念について

数学における集合論の一部として、集合 X の部分集合 A が補有限であるとは、A の X における補集合が有限集合であることを指します。これは、A が「X における有限な例外を除いた全ての元を含む」とも言い換えられます。具体的には、補有限集合は、無限集合においてその限界を超えた特性を持つ部分集合として重要な役割を果たします。

また、もし補集合が有限ではなく可算であった場合、該当する集合は「補可算」または「余可算」と呼ばれます。補有限という概念は、有限集合の特性を無限集合に一般化しようとする際に、自ずと生じるものです。この考え方は特に、直積位相や直和加群などの無限集合に関連する分野で重要となります。無限と補有限の違いは、数学の理論において本質的な意味を持つことがあります。

有限補有限ブール代数

有限補有限な部分集合から構成される集合は、集合 X における合併・交差・補集合といった操作に関して閉じています。このような集合全体は、有限補有限代数と呼ばれ、特定のブール代数の構造を形成しています。このブール代数 A が、単項でない超フィルターを一つだけ持つための条件は、有限補有限代数が A と同型であるような無限集合 X の存在に依存しています。したがって、唯一の単項でない超フィルターは、補有限部分集合全体の集合に対応します。

補有限位相

補有限位相（cofinite topology), または有限補集合位相とは、任意の集合 X 上で定義できる位相であり、開集合としては空集合と全ての補有限部分集合が用いられます。この位相空間において、任意の閉集合は有限集合または全体の集合 X である必要があります。記法としては、以下のように表されます。

$$
egin{array}{c}
T = \
\{A ⊆ X \,|\, A = ∅ \quad \text{または} \quad X \setminus A \text{が有限} \}\
\end{array}
$$

補有限位相は、ザリスキー位相や多様体の研究において自然に現れることがあります。たとえば、体 K の多項式で、有限集合上で常に 0 を取るものの全体は、K 上のザリスキー位相において補有限位相を与えます。ただし、すべてのケースにおいて成り立つわけではなく、特定の条件下でのみ確立されるものです。

補有限位相の性質

1. 部分空間に関して：補有限位相空間の任意の部分位相空間も補有限です。
2. コンパクト性：補有限位相空間のいかなる開集合も、有限個の例外を除けば X の全ての点を含むため、X はコンパクトかつ点列コンパクトとして知られています。
3. 分離性：補有限位相は、T1-分離公理を満たす中で最も粗い位相で、X における任意の一元集合が閉であることが必要条件です。具体的には、X が有限集合であるならその補有限位相は単なる離散位相となりますが、無限の場合には T2 や正則、正規性を満たしません。

二重点補有限位相

二重点補有限位相 (double-pointed cofinite topology) は、各点が二重点である補有限位相の特性を持つもので、補有限位相と密着位相との積として考えられます。ここで、位相的に区別不能な点は同一視されるため、T0 や T1 には該当しませんが、すべての不可分点は可分性を持つため、R0 にはなります。具体例として、整数全体の集合に対して、偶数と奇数を組み合わせた補有限位相を考え、それに基づいた開集合がどのように形成されるかが示されます。

このように、補有限性に関する概念は、数学の多くの分野において重要であり、集合の性質や位相の理解に寄与します。参考文献として、Steen と Seebach の『Counterexamples in Topology』が挙げられます。

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