第二可算的空間

第二可算空間についての解説

第二可算空間、つまり、第二可算公理を満たす位相空間の概要について解説します。この種の空間は、可算な開基を持つことが定義の要点です。具体的には、位相空間 T に対してその中に可算個の開集合からなる族が存在し、その開集合の和として任意の開集合が表現できる場合、T は第二可算的であると言います。この特徴はその空間内での開集合の数に制約を与えるものです。

また、多くの「良い性質」を持った位相空間は第二可算であり、ユークリッド空間R^nもその一例です。標準的な開基として考えると、開球体全体は可算ではありませんが、中心が有理点で半径が有理数の開球体を考えると可算な集合が得られるため、これは可算な開基を成します。

第二可算性の性質

第二可算性は第一可算性よりも強い性質であるため、どの第二可算空間も第一可算でもあります。第一可算空間は、各点が可算な基本近傍系を持つことが特徴です。このため、第二可算性が成り立つ場合は自動的に第一可算性も満たします。

さらに、第二可算空間は可分性やリンデレーフ性も含意しますく、特に、可算な稠密部分集合を持ち、任意の開被覆が可算部分開被覆を持つことは、この空間の特性をさらに強化します。ただし、これらの逆は真ではありません。実数直線に下限位相を投影すると、第一可算性や可分性は持っていても、第二可算性は満たしません。

距離空間の特性においては、可分、リンデレーフ、第二可算性は全て同値であり、したがって制約が正確に一致します。また、第二可算空間においては、コンパクト性、点列コンパクト性及び可算コンパクト性はすべて同じ性質を示します。ウリゾーンの距離化可能定理によると、第二可算な正則空間は必ず距離付け可能となるため、そのための厳しい条件を伴います。これにより、こうした空間はパラコンパクトかつ完全正規でもあることが分かります。

さらなる特性

第二可算空間に関する他の重要な特性として、連続開写像によって得られる像もまた第二可算であることが挙げられます。また、第二可算空間の部分空間は、元の空間の性質を引き継ぐため、引き続き第二可算であることが知られています。ただし、商空間は常に第二可算であるわけではなく、特に開商空間は常に第二可算となります。可算個の直積を取った場合、再び第二可算空間が得られますが、非可算個の直積ではこの性質が成り立ちません。

第二可算空間では、位相の濃度は高々連続体濃度であり、開基内部の各開基も自身の開基を形成することができます。また、互いに素な開集合から成る家族も可算に制限されるなど、特有の性質が多く存在します。

例

可算直和の例として、区間 $[0,1]$, $[2,3]$, $[4,5]$ などが考えられます。これらの区間を商位相により結び付け、左端を同一視することで構成される空間は第二可算となりますが、点を同一視した商空間は第一可算でない場合もあります。

まとめ

第二可算空間は、数学において重要な役割を果たしており、その性質は位相空間論の多くの分野において応用されます。このような空間の理解は、数学的議論において不可欠です。

もう一度検索