等式コンパクト代数

等式コンパクト性

普遍代数学やモデル理論の分野において、等式コンパクト性（equationally compact）とは、代数系が持つ特別な性質の一つです。これは、位相空間論におけるコンパクト性という概念の、代数的な文脈での類似物と見なすことができます。この概念は、数学者のヤン・ミシェルスキーによって導入されました。

定義

まず、一階述語論理の言語 `L` を一つ固定します。`L`-論理式の特定の集合 `K` に対して、ある構造 `A` が `K`-コンパクトである、または弱 K-コンパクトであるとは、以下の条件を満たす場合を指します。

• - `K`-コンパクト： `A` の要素を用いた `K` に属する論理式の集まり `Σ` について、`Σ` の任意の有限な部分集合が `A` 上で解を持つ（充足可能である）ならば、`Σ` 全体も `A` 上で解を持つ。
• - 弱 `K`-コンパクト： `K` に属する論理式の集まり `Σ` について、`Σ` の任意の有限な部分集合が `A` 上で解を持つ（充足可能である）ならば、`Σ` 全体も `A` 上で解を持つ。

ここで、もし `K` を言語 `L` のすべての論理式の集合とし、考える論理式の集まり `Σ` の濃度（要素の数）をある無限基数 `κ` 未満に制限した場合、`K`-コンパクト性は `κ`-級飽和性、弱 `K`-コンパクト性は `κ`-級広大性と呼ばれます。

代数系 `A` が等式コンパクトである、または弱等式コンパクトであるとは、上記の定義における `K` を、言語 `L` のすべての等式（`t=u` の形の論理式）の集合としたときに、`A` がそれぞれ `K`-コンパクト、または弱 `K`-コンパクトである場合をいいます。

コンパクト性との関係

代数系の等式コンパクト性は、位相空間が持つコンパクト性という性質を、ある意味で弱めたものと捉えることができます。

ここで、位相代数系というものを考えます。これは、ハウスドルフ空間としての位相を持ち、なおかつ代数的な演算（積や逆元など）がその位相に関して連続であるような代数系です。例えば、位相群は代表的な位相代数系です。

もし位相代数系 `A` が、位相空間としてコンパクトであるならば、その代数系としての構造は等式コンパクトになります。このことを見てみましょう。任意の等式 `t(x₁, ..., x_n) = u(x₁, ..., x_n)` に対して、その等式を `A` 上で満たす解の集合 `{(a₁, ..., a_n) ∈ Aⁿ | A ⊨ t(a₁, ..., a_n) = u(a₁, ..., a_n)}` を考えます。位相代数系のハウスドルフ性および演算の連続性から、この解の集合は、`A` の直積空間 `Aⁿ` における閉集合となることが知られています。

したがって、`A` において有限個の等式からなる集合が解を持つならば、それは対応する有限個の閉集合の共通部分が空でないことに対応します。等式の無限集合 `Σ` が有限充足可能であるということは、`Σ` に対応する閉集合族が有限交叉性を持つということです。チコノフの定理によれば、コンパクト空間の任意の直積空間もコンパクトです。したがって、空間 `Aⁿ` はコンパクトであり、有限交叉性を持つ閉集合族はその共通部分が空でないことが保証されます。これは、等式の無限集合 `Σ` 全体に対して共通の解が存在することに他なりません。

超準解析との関係

等式コンパクト性の概念は、超準解析とも関連があります。

もし代数系 `A` が別の代数系 `B` の初等部分構造であり、かつ `A` が等式コンパクトであると仮定します。このとき、`A` は `B` のレトラクトとなります。つまり、`B` から `A` への代数系準同型写像 `f` が存在し、`A` の要素を `f` で写しても自分自身に戻る（`f(a)=a` for all `a ∈ A`）という性質を満たします。

これは以下のように示されます。`B` の各要素 `b` に対して、新しい変数記号 `x_b` を用意します。`A` 上の等式で、`x_b = b` と代入すると `B` で真になるもの全ての集合を `Σ` と置きます。`Σ` は `B` において解を持つ（有限充足可能である）ため、`A` が `B` の初等部分構造であることから、`Σ` は `A` においても有限充足可能となります。さらに、`A` が等式コンパクトであるという仮定から、`Σ` は `A` においても実際に解を持つことになります。

これは、写像 `f: B → A` が存在して、`Σ` に現れる全ての `x_b` を `f(b)` に置き換えた等式が `A` 上で真になることを意味します。この写像 `f` は、上記の性質（`f(a)=a`）と代数系準同型である性質（`f(F^B(b₁, ..., b_n)) = F^A(f(b₁), ..., f(b_n))` for any function symbol `F`）を満たします。例えば、等式コンパクトな代数系 `A` は、その超準拡大 `A` のレトラクトとなることが分かります。

等式コンパクト性は、ホモロジー論においても役割を果たします。アーベル群 `G` が等式コンパクトであることと、その `G` を係数とするチェック・ホモロジーが、コンパクトハウスドルフ空間（またはコンパクト距離空間）に対するある完全性公理を満たすこととは同値です。十分大きな超準モデルにおいては、特定の「重み」未満の任意のコンパクトハウスドルフ空間に対して、アーベル群 `G` の超準拡大 `G` を係数とするMcCordホモロジーとチェック・ホモロジーが同型になることが知られています。一方で、等式コンパクトでないようなアーベル群の超準拡大が存在することから、McCordホモロジーとチェック・ホモロジーの同型が成り立たないような超準モデルが存在することも結論されます。

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