算術の超準モデル

算術の超準モデルとは

算術の超準モデルとは、ペアノ算術の公理をすべて満たすモデルでありながら、通常の自然数（標準モデル）には存在しない「超準数」という要素を含むモデルのことです。標準モデルは、私たちが普段使っている自然数 \( \mathbb{N} \) の集合です。ペアノ算術のモデルは線形順序で並び、\( \mathbb{N} \) と同型な部分（切片）を持ちますが、超準モデルはその切片の外に要素を持つ点が特徴です。

超準モデルの存在

超準モデルの存在は、いくつかの方法で証明できます。

コンパクト性定理による証明

コンパクト性定理を利用した証明では、新しい定数記号 \( c \) を導入し、ペアノ算術の公理系 \( PA \) に、\( n < c \) (ここで \( n \) は任意の自然数)という形の無限個の公理を追加した新しい公理系 \( PA^ \) を考えます。コンパクト性定理より、\( PA^ \) を満たすモデル \( \mathbb{N}^ \) の存在が示されます。

\( PA^ \) はペアノ算術の拡張なので、当然ペアノ算術の公理も満たします。もし \( c \) を通常の自然数で解釈すると \( PA^ \) を満たすことができないため、\( c \) は超準数であり、\( \mathbb{N}^ \) が超準モデルとなります。

コンパクト性定理を適用するには、\( PA^ \) の任意の部分集合 \( T \) がモデルを持つことを示せば十分です。\( T \) は、\( PA \) の部分集合に有限個の \( n_1 < c, n_2 < c, ..., n_m < c \) という形の公理を加えたものです。\( c \) を \( n_m + 1 \) と解釈すれば、自然数 \( \mathbb{N} \) が \( T \) のモデルとなるため、コンパクト性定理が適用可能です。

ゲーデルの不完全性定理による証明

ゲーデルの不完全性定理によれば、標準モデルでは真であるものの、ペアノ算術の公理系では決定不能な文（ゲーデル文）\( G \) が存在します。完全性定理より、\( PA \) に \(
eg G \) を加えた公理系にもモデルが存在します。標準モデルでは \( G \) が真なので、このモデルは超準モデルとなります。\(
eg G \) を満たすことは、そのモデルが超準的であるための十分条件ですが、必要条件ではありません。また、どのようなゲーデル文 \( G \) に対しても、\( G \) が真であるようなあらゆる濃度のモデルが存在します。

算術が無矛盾であると仮定すると、算術に \(
eg G \) を加えたものも無矛盾ですが、ω-無矛盾にはなりません。

超積による証明

超積を用いた方法では、自然数列全体の集合 \( \mathbb{N}^{\mathbb{N}} \) を用います。二つの数列が、ある固定された非単項超フィルターに属する添字集合上で一致するときに同一視します。このようにして得られる構造が、算術の超準モデルとなります。これは超自然数と同一視できます。

可算超準モデルの構造

超積で構成されたモデルは非可算であることが知られていますが、レーヴェンハイム-スコーレムの定理により、可算な超準モデルの存在も保証されています。ヘンキン構成はそのようなモデルを構成する方法の一つです。

定理

算術の超準モデルの順序構造は、端点を持たない稠密な全順序集合 \( \mathcal{Q} \) を用いて、\( \mathbb{N} \oplus \mathbb{Z} \times \mathcal{Q} \) と表せます。

特に可算な超準モデルの場合、\( \mathcal{Q} \) は可算であり、端点を持たない稠密な全順序の理論（DLO）の可算範疇性から、\( \mathcal{Q} \) は有理数の集合 \( \mathbb{Q} \) と同型になります。したがって、可算超準モデルの順序構造は、\( \mathbb{N} \oplus \mathbb{Z} \times \mathbb{Q} \) と表せます。

証明

算術の超準モデルを \( M \) とすると、\( M \) は \( \mathbb{N} \) を含んでいるとみなせます。ペアノ算術では、任意の自然数 \( n \) に対して \( \forall x (\bigwedge_{k=0}^{n}(x
eq k) \rightarrow n < x) \) が証明可能であるため、\( M \) においても真です。したがって、\( M \) は \( \mathbb{N} \) の後ろに無限大元からなる部分を繋げたような順序構造、\( M = \mathbb{N} \oplus (M \setminus \mathbb{N}) \) を持つことがわかります。

\( M' = M \setminus \mathbb{N} \) の順序構造を調べるため、\( M' \) 上の二項関係 \( x E y \Leftrightarrow x - y \in \mathbb{Z} \) を考えます。これは同値関係となり、各同値類は \( [x] = \{ x + n \mid n \in \mathbb{Z} \} \) の形をしています。商集合 \( \mathcal{Q} = M' / E \) 上の二項関係 \( [x] \ll [y] \Leftrightarrow x < y \text{ and } y - x \in M' \) を定義すると、\( \mathcal{Q} \) は全順序となります。

\( M' \) の二元 \( u, v \) について、\( u < v \) であることは、 \( [u] = [v] \) であり、\( u = x + n, v = x + m \) と書いたときに \( n < m \) であるか、または、\( [u] \ll [v] \) であることと同値です。したがって \( M' \) の順序は \( \mathbb{Z} \times \mathcal{Q} \) 上の逆辞書式順序となります。

最後に \( \mathcal{Q} \) の順序構造を調べます。任意の \( x \in M' \) に対して \( [x] \ll [2x] \) が成り立ちます。任意の元は偶数または奇数であることはペアノ算術で証明できます。よって、\( x \) はある \( y \in M \) によって \( x = 2y \) または \( x = 2y + 1 \) の形で表せます。このとき \( y \in M' \) であり、\( [y] \ll [x] \) が成り立ちます。したがって、\( \mathcal{Q} \) は端点を持ちません。

\( x, y \in M' \) について、\( [x] \ll [y] \) と仮定すると、\( x + y \) は偶数または奇数なので、ある \( z \in M \) によって \( x + y = 2z \) または \( x + y = 2z + 1 \) と表せます。この時 \( z \in M' \) であり、\( [x] \ll [z] \ll [y] \) が成り立ちます。よって \( \mathcal{Q} \) は稠密です。

以上より、\( M = \mathbb{N} \oplus \mathbb{Z} \times \mathcal{Q} \) であり、\( \mathcal{Q} \) は端点を持たない稠密な全順序集合であると結論付けられます。

まとめ

算術の超準モデルは、通常の自然数にはない超準数を持つ、興味深い数学的構造です。その存在証明には、コンパクト性定理、ゲーデルの不完全性定理、超積といった高度な数学的道具が用いられます。また、可算超準モデルは特定の順序構造を持つことが明らかになっています。

この分野は、モデル理論や超準解析とも密接に関わっており、数学の基礎を深く理解する上で重要な役割を果たしています。

参考文献

田中一之『数の体系と超準モデル』裳華房、2002年4月
Boolos, G.; Jeffrey, R. (1974), Computability and Logic, Cambridge University Press
Kossak, Roman; Schmerl, James H. (2006), The Structure of Nonstandard Models of Arithmetic, Oxford Logic Guides, Oxford University Press
Skolem, Th. (1934), “Über die Nicht-charakterisierbarkeit der Zahlenreihe mittels endlich oder abzählbar unendlich vieler Aussagen mit ausschliesslich Zahlenvariablen”, Fundamenta Mathematicae

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