超フィルター
数学において、超フィルター（ultrafilter）または極大フィルター（maximal filter）とは、特定の数学的構造である順序集合上で定義されるフィルターの中で、それ以上拡大できない（極大な）ものを指します。特に、ブール代数という構造においては、超フィルターは素フィルター（prime filter）と一致することが知られています。
超フィルターは、位相空間論や集合論といった数学の根幹をなす分野において非常に基本的な役割を果たす概念であり、その応用は多岐にわたります。
具体的な例として、任意の集合Xのすべての部分集合からなる集合（冪集合P(X)）を考えます。P(X)は包含関係によって自然な順序集合となります。この冪集合P(X)上の超フィルターは、単にX上の超フィルターとも呼ばれます。興味深いことに、X上の超フィルターは、X上で定義された、非自明で二値（0か1の値をとる）の有限加法的測度と数学的に同等と見なすことができます。この観点から見ると、X上の超フィルターは、Xの各部分集合を「ほとんど全体」（測度が1）か「ほとんど含まない」（測度が0）かのいずれかに明確に分類するものと言えます。
まず、[順序集合]上のフィルターとは、空ではなく、任意の二元の共通下界（英語版）を含む要素を持ち、かつより大きい要素を含む性質を持つPの部分集合Fのことです。フィルターFがPの真部分集合であるとき真のフィルターと呼ばれ、この真のフィルターの中で包含関係に関して極大なものが超フィルターと定義されます。
超フィルターの存在は、ある種の条件下で保証されます。特に、最小元0を持つ順序集合L上の「有限交叉族」（任意の有限個の元の共通部分が空でない族）に対して、その有限交叉族を含む超フィルターが存在することが、集合論における重要な道具であるツォルンの補題を用いて証明されます。ただし、任意のブール代数上における（任意の有限交叉族を含む）超フィルターの存在はブールの素イデアル定理として知られており、これはZFC集合論では証明できないことが示されています。
最小元0を持つ束B上の真のフィルターUが超フィルターであることは、いくつかの同値な条件によって特徴づけられます。例えば、Uに含まれない要素xに対して、xとの共通部分が0となるようなUの要素yが存在することなどが挙げられます。特にBがブール代数の場合は、要素xに対してxがUに含まれるか、またはxの否定¬xがUに含まれるかのどちらか一方のみが成り立つこと（これが素フィルターの条件です）も超フィルターであることと同値です。
集合Xの冪集合P(X)上の超フィルターは、X上の超フィルターとして特に重要です。X上の超フィルターUは、以下のいずれか片方を満たします。
1. 単項超フィルター: ある特定の元x ∈ X が存在し、Uはxを含むXのすべての部分集合からなります。
2. 自由な超フィルター（非単項超フィルター）: どのような元x ∈ X に対しても、xを含まないようなUの要素が存在します。これは、Xの補有限部分集合全体からなるフレシェフィルターを含むことと同値です。
有限集合上には単項超フィルターしか存在しませんが、無限集合上には自由な超フィルターが存在します（その存在には選択公理が必要です）。
超フィルターのノルムは、その要素となる集合の最小サイズのinfimum（下限）として定義され、単項超フィルターのノルムは1、自由な超フィルターのノルムは無限基数となります。ノルムや完備性といった概念によって、超フィルターはさらに細かく分類されます。例えば、無限基数κに対し、κより少ない個数の要素の共通部分が常に超フィルターに含まれるとき、その超フィルターはκ-完備であるといいます。自由な超フィルターの完備性は、基数論における可測基数のような大きな基数の存在と関連しています。
二つの集合X, Y上の超フィルターU, Vからは、その直積X×Y上の超フィルターU⋅Vを構成することができます。これは、超フィルターを用いた「ほとんどすべての」という概念を多変数に拡張したものと見なせます。また、超フィルターの間にはルディン・キースラー順序と呼ばれる比較関係≤RKが定義されます。これは、ある写像fによって一つの超フィルターがもう一方の超フィルターの像として得られる場合に成立する順序であり、超フィルターの「複雑さ」や「強さ」を測る指標の一つとなります。
位相空間 X 上のフィルターが点 x に収束するとは、そのフィルターが x の近傍系（xの「すぐ近く」にある集合の集まり）を含むことを言います。この文脈で、位相空間上の超フィルターは収束の概念と密接に関わります。位相空間がコンパクトであることと、その上のすべての超フィルターが収束することは同値であるなど、超フィルターは位相空間の基本的な性質を特徴づける強力なツールとなります。
超フィルターの最も重要な応用の一つに超積（ultraproduct）の構成があります。無限集合I上の自由な超フィルターUと、Iで添字付けられた数学的構造の族{Mi}が与えられたとき、その直積構造∏i∈I MiをUによる同値関係（「ほとんどすべての添字iについて要素が一致する」という関係）で割った商構造を超積∏i∈I Mi/Uといいます。特に、すべてのMiが同じ構造Mである場合の超積は超冪MI/Uと呼ばれ、これは元の構造Mの初等拡大となります。この超冪の構成は、実数から超実数のような元の構造に含まれない「無限大」や「無限小」の元を持つ超準モデルを構成する際に用いられ、超準解析（non-standard analysis）という分野の基礎となっています。
超フィルターやそれを用いた超積・超極限の概念は、数学の様々な分野で応用されています。
幾何学: 距離空間の族から超極限（ultralimit）を構成し、空間の「漸近的な」構造を調べるために用いられます。漸近錐などがその例です。
解析学: 超実数を用いた超準解析は、微分積分学などの解析学の概念を再定式化し、新たな視点や証明手法をもたらしています。
組合せ論: 無限組合せ論におけるラムゼーフィルターのような特定の性質を持つ超フィルターの存在は、大きな構造の中に規則的な部分構造を見出すラムゼー理論の研究と関連しています。これらの超フィルターの存在は、ZFC集合論において独立な主張となることがあります。
社会選択理論: 投票者の集合が無限である場合に、超フィルターを用いて集計ルールを構築する試みがあります。これは有限人ケースに関するアローの不可能性定理を回避するように見えますが、そのようなルールは計算不可能であることが示されており、定理の別の側面を強調する結果となっています。
このように、超フィルターは抽象的な概念でありながら、数学の多くの分野においてその構造を理解し、新たな対象を構成し、定理を証明するための重要なツールとして広く活用されています。
超フィルターは、位相空間論や集合論といった数学の根幹をなす分野において非常に基本的な役割を果たす概念であり、その応用は多岐にわたります。
具体的な例として、任意の集合Xのすべての部分集合からなる集合（冪集合P(X)）を考えます。P(X)は包含関係によって自然な順序集合となります。この冪集合P(X)上の超フィルターは、単にX上の超フィルターとも呼ばれます。興味深いことに、X上の超フィルターは、X上で定義された、非自明で二値（0か1の値をとる）の有限加法的測度と数学的に同等と見なすことができます。この観点から見ると、X上の超フィルターは、Xの各部分集合を「ほとんど全体」（測度が1）か「ほとんど含まない」（測度が0）かのいずれかに明確に分類するものと言えます。
定義と存在
まず、[順序集合]上のフィルターとは、空ではなく、任意の二元の共通下界（英語版）を含む要素を持ち、かつより大きい要素を含む性質を持つPの部分集合Fのことです。フィルターFがPの真部分集合であるとき真のフィルターと呼ばれ、この真のフィルターの中で包含関係に関して極大なものが超フィルターと定義されます。
超フィルターの存在は、ある種の条件下で保証されます。特に、最小元0を持つ順序集合L上の「有限交叉族」（任意の有限個の元の共通部分が空でない族）に対して、その有限交叉族を含む超フィルターが存在することが、集合論における重要な道具であるツォルンの補題を用いて証明されます。ただし、任意のブール代数上における（任意の有限交叉族を含む）超フィルターの存在はブールの素イデアル定理として知られており、これはZFC集合論では証明できないことが示されています。
ブール代数上の超フィルター
最小元0を持つ束B上の真のフィルターUが超フィルターであることは、いくつかの同値な条件によって特徴づけられます。例えば、Uに含まれない要素xに対して、xとの共通部分が0となるようなUの要素yが存在することなどが挙げられます。特にBがブール代数の場合は、要素xに対してxがUに含まれるか、またはxの否定¬xがUに含まれるかのどちらか一方のみが成り立つこと（これが素フィルターの条件です）も超フィルターであることと同値です。
冪集合上の超フィルター
集合Xの冪集合P(X)上の超フィルターは、X上の超フィルターとして特に重要です。X上の超フィルターUは、以下のいずれか片方を満たします。
1. 単項超フィルター: ある特定の元x ∈ X が存在し、Uはxを含むXのすべての部分集合からなります。
2. 自由な超フィルター（非単項超フィルター）: どのような元x ∈ X に対しても、xを含まないようなUの要素が存在します。これは、Xの補有限部分集合全体からなるフレシェフィルターを含むことと同値です。
有限集合上には単項超フィルターしか存在しませんが、無限集合上には自由な超フィルターが存在します（その存在には選択公理が必要です）。
超フィルターの性質と諸概念
超フィルターのノルムは、その要素となる集合の最小サイズのinfimum（下限）として定義され、単項超フィルターのノルムは1、自由な超フィルターのノルムは無限基数となります。ノルムや完備性といった概念によって、超フィルターはさらに細かく分類されます。例えば、無限基数κに対し、κより少ない個数の要素の共通部分が常に超フィルターに含まれるとき、その超フィルターはκ-完備であるといいます。自由な超フィルターの完備性は、基数論における可測基数のような大きな基数の存在と関連しています。
フィルターの積と超フィルター間の順序
二つの集合X, Y上の超フィルターU, Vからは、その直積X×Y上の超フィルターU⋅Vを構成することができます。これは、超フィルターを用いた「ほとんどすべての」という概念を多変数に拡張したものと見なせます。また、超フィルターの間にはルディン・キースラー順序と呼ばれる比較関係≤RKが定義されます。これは、ある写像fによって一つの超フィルターがもう一方の超フィルターの像として得られる場合に成立する順序であり、超フィルターの「複雑さ」や「強さ」を測る指標の一つとなります。
位相空間論との関わり
位相空間 X 上のフィルターが点 x に収束するとは、そのフィルターが x の近傍系（xの「すぐ近く」にある集合の集まり）を含むことを言います。この文脈で、位相空間上の超フィルターは収束の概念と密接に関わります。位相空間がコンパクトであることと、その上のすべての超フィルターが収束することは同値であるなど、超フィルターは位相空間の基本的な性質を特徴づける強力なツールとなります。
超積と超準モデル
超フィルターの最も重要な応用の一つに超積（ultraproduct）の構成があります。無限集合I上の自由な超フィルターUと、Iで添字付けられた数学的構造の族{Mi}が与えられたとき、その直積構造∏i∈I MiをUによる同値関係（「ほとんどすべての添字iについて要素が一致する」という関係）で割った商構造を超積∏i∈I Mi/Uといいます。特に、すべてのMiが同じ構造Mである場合の超積は超冪MI/Uと呼ばれ、これは元の構造Mの初等拡大となります。この超冪の構成は、実数から超実数のような元の構造に含まれない「無限大」や「無限小」の元を持つ超準モデルを構成する際に用いられ、超準解析（non-standard analysis）という分野の基礎となっています。
その他の応用
超フィルターやそれを用いた超積・超極限の概念は、数学の様々な分野で応用されています。
幾何学: 距離空間の族から超極限（ultralimit）を構成し、空間の「漸近的な」構造を調べるために用いられます。漸近錐などがその例です。
解析学: 超実数を用いた超準解析は、微分積分学などの解析学の概念を再定式化し、新たな視点や証明手法をもたらしています。
組合せ論: 無限組合せ論におけるラムゼーフィルターのような特定の性質を持つ超フィルターの存在は、大きな構造の中に規則的な部分構造を見出すラムゼー理論の研究と関連しています。これらの超フィルターの存在は、ZFC集合論において独立な主張となることがあります。
社会選択理論: 投票者の集合が無限である場合に、超フィルターを用いて集計ルールを構築する試みがあります。これは有限人ケースに関するアローの不可能性定理を回避するように見えますが、そのようなルールは計算不可能であることが示されており、定理の別の側面を強調する結果となっています。
このように、超フィルターは抽象的な概念でありながら、数学の多くの分野においてその構造を理解し、新たな対象を構成し、定理を証明するための重要なツールとして広く活用されています。
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