素環

素環についての解説

環論の中で素環という概念は非常に重要です。素環とは、任意の要素 a と b が環 R に属する場合に、もし a × b が 0 であれば、少なくとも一方が 0 であるという性質を持つ環のことを指します。この特性により、素環はある種の「質」を持つ環として位置づけられます。

同値な定義

素環が持つ特徴について、以下の条件が成立すれば、環 R は素環であると言えます。これらの条件は同値であり、どれか一つを満たせば他の全ても満たされます。

1. ゼロの部分集合 {0} が素イデアルであること。
2. R の任意の左イデアル I と J に対して、もし IJ = {0} ならば I は {0} か J は {0} であること。
3. R の任意の右イデアル I と J に対する同様の条件。
4. R の両側イデアル I と J に対して、同様の条件が成り立つこと。

これらの条件によって、素環の性質をより深く理解することができます。

例

いくつかの具体的な例を挙げると、整域は素環の特例と見なすことができます。また、単純環も素環として考えられます。これらの環はそれぞれの性質によって素環であることが示されています。

性質

特に注目すべきは、可換環において整域と素環は同値であるという点です。これにより、素環に関する知識が他の環の性質に対しても応用可能であることが示唆されます。

参考文献

素環に関する理論をさらに深めたい方は、岩永恭雄、佐藤眞久の著作『環と加群のホモロジー代数的理論』を読むことをお勧めします。この文献は日本評論社から2002年に出版されており、ISBNは 4-535-78367-5 です。この書籍には環や加群に関する多くの有用な情報が含まれています。

このように、素環は数学の深い理論の中で重要な役割を果たしており、その理解は環論や代数学全体において不可欠な部分です。

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