累積的階層

累積的階層（Cumulative Hierarchy）

累積的階層とは、集合論における基本的な概念で、順序数に基づいて定義される集合のシリーズを指します。この構造は特に、集合の生成やその性質を理解するために重要です。累積的階層は、特定の条件を満たす集合のファミリーであり、順序数 α によって添え字づけられた集合 W_α から構成されます。

基本的な定義

累積的階層の構成は、以下の条件によって定義されます。
1. 各 α に対して、
W_α  は W_{α+1} の部分集合である。
2. λ が極限順序数であるとして、
W_λ = igcup_{eta < λ} W_β となる。

場合によっては、W_{α+1}  が P(W_α)（W_α の冪集合）に含まれることや、W_0
eq ext{∅}（つまり、最初の階層が空でないこと）が条件として加えられることがあります。

これらの条件に従って、累積的階層は次のように組み合わさります：
W = igcup_{eta ext{が順序数}} W_β。こうして得られた集合は、集合論の多くのモデルの基盤となります。また、一般に「累積的階層」という場合、フォン・ノイマン宇宙 V_α を指すことが多いです。これは次のように定義されています：
V_{α+1} = P(W_α)。

この概念は1930年にエルンスト・ツェルメロによって導入されました。

反映原理

累積的階層は反映原理の一つの形を実現しています。具体的には、集合論におけるいかなる論理式が累積的階層 W 上で成立する場合、それはある特定の段階 W_α においても成立する必要があります。この性質は、集合論の中で非常に重要な役割を果たします。

例

フォン・ノイマン宇宙は、累積的階層によって構成されている最も代表的な例です。さらに、構成可能宇宙 L_α もまた、累積的階層に従って構成されます。強制法を用いて構築されるブール値モデルも、この累積的階層の枠組みを利用して作られています。

また、特定の集合論モデルの整礎的集合全体も累積的階層を成し、その中では正則性公理が成立します。これにより、祖先的な集合や関連する構造を分析する際の重要な手段となります。

参考文献

• - Jech, Thomas (2003). Set Theory. Springer Monographs in Mathematics (Third Millennium ed.). Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-44085-7.
• - Zermelo, Ernst (1930). “Über Grenzzahlen und Mengenbereiche: Neue Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre”. Fundamenta Mathematicae 16: 29–47. doi:10.4064/fm-16-1-29-47.

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