終結式

終結式：多項式の共通根と係数の関係

数学において、終結式は2つの多項式の係数から計算される重要な式です。この式は、2つの多項式が共通の根（解）を持つための必要十分条件を与えるという、代数学における強力なツールです。

終結式の定義

n次多項式f(x)とm次多項式g(x)を考えます。

f(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + ... + a₁x + a₀ (aₙ ≠ 0)
g(x) = bₘxᵐ + bₘ₋₁xᵐ⁻¹ + ... + b₁x + b₀ (bₘ ≠ 0)

f(x)の根をα₁, α₂, ..., αₙ、g(x)の根をβ₁, β₂, ..., βₘとすると、終結式Res(f, g)は次のように定義されます。

Res(f, g) = aₙᵐbₘⁿ Πᵢⱼ(αᵢ - βⱼ)

この式は、f(x)とg(x)の根の差の積として表されています。全ての根の差の積が0になる、つまり少なくとも一つのαᵢとβⱼが等しい場合、f(x)とg(x)は共通根を持つことになります。

Sylvester行列式

終結式は、Sylvester行列の行列式としても計算できます。Sylvester行列は、f(x)とg(x)の係数から構成される行列であり、その行列式はRes(f, g)に等しくなります。Sylvester行列の具体的な構成方法は以下の通りです。


[ aₙ aₙ₋₁ ... a₀ 0 ... 0 ]
[ 0 aₙ aₙ₋₁ ... a₀ ... 0 ]
[ ... ... ... ... ... ... ... ]
[ 0 ... 0 aₙ aₙ₋₁ ... a₀ ]
[ bₘ bₘ₋₁ ... b₀ 0 ... 0 ]
[ 0 bₘ bₘ₋₁ ... b₀ ... 0 ]
[ ... ... ... ... ... ... ... ]
[ 0 ... 0 bₘ bₘ₋₁ ... b₀ ]


この行列はm行n列のブロックがn行m列に並んだ(m+n)×(m+n)行列です。

終結式と判別式

多項式f(x)の導関数をf'(x)とすると、Res(f, f')はf(x)の判別式に等しくなります。判別式は、多項式が重根を持つための条件を示す式です。

応用

終結式は、数論、計算機代数、幾何学など、様々な分野で応用されています。特に、

柱形代数分解 (CAD)
有理関数の逆微分
* 二変数代数方程式によって定義された曲線の描画

などにおいて重要な役割を果たします。コンピュータによる効率的な計算も可能であるため、数式処理システムに組み込まれた基本的なツールとなっています。

証明

終結式の2つの定義式（根の差の積とSylvester行列式）が等しいことの証明は、線形代数と多項式の性質を用いた複雑な議論を必要とします。ここでは、文献に掲載されている方法を参考に証明を行うことで、その等式が成立することを示します。(具体的な証明は、数式が複雑になるため、この説明では割愛します。詳細は参考文献を参照してください。) 証明においては、Sylvester行列の性質、根と係数の関係、因数定理などが用いられます。

係数環が整域の場合

係数環が整域である場合でも、終結式は同様の方法で定義され、その性質も同様に成り立ちます。

まとめ

終結式は、一見複雑に見える式ですが、その背後にある数学的構造は非常に美しく、多様な分野にわたる応用可能性を秘めています。本記事では、その定義、性質、応用について概要を説明しました。より詳細な理解には、参考文献や専門書を参照することをお勧めします。

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