結びと交わり

結び（Join）と交わり（Meet）

半順序集合論において、結びと交わりは非常に基本的な概念です。これらは集合の部分集合に対して定義される「上界の最小元」と「下界の最大元」を指し、要素間の演算としても重要な役割を果たします。これらの概念は、特定の性質を持つ半順序集合である「束」の研究の基礎となります。

定義：上限と下限として

半順序集合 P において、その部分集合 S の結びとは、S の上限（最小上界、記号: ⋁S）のことです。上限とは、S のすべての元以上であるような元（上界）の中で、最も小さい元のことを指します。双対的に、S の交わりとは、S の下限（最大下界、記号: ⋀S）のことです。下限とは、S のすべての元以下であるような元（下界）の中で、最も大きい元のことを指します。

注意すべき点として、半順序集合において、任意の部分集合に対して常にその結びや交わりが存在するとは限りません。しかし、もし存在すれば、それらは一意に定まり、半順序集合 P の元となります。

定義：二項演算として

結びと交わりは、半順序集合 P の二つの元 a と b の対に対する可換結合的冪等部分二項演算として定義されることもあります。これは、特定の対に対してのみ演算結果が定義されるという意味です。a と b の結びは a ∨ b と書かれ、交わりは a ∧ b と書かれます。

もし半順序集合 P の元のすべての対に対して結びまたは交わりが存在する場合、その演算（∨ または ∧）は以下の3つの性質を満たします。

• - 可換性: x ∧ y = y ∧ x （および x ∨ y = y ∨ x）
• - 結合性: x ∧ (y ∧ z) = (x ∧ y) ∧ z （および x ∨ (y ∨ z) = (x ∨ y) ∨ z）
• - 冪等性: x ∧ x = x （および x ∨ x = x）

これらの性質は、上限/下限としての定義から容易に導かれます。

結びと交わりの概念は、順序関係を逆にした場合に互いに入れ替わるという双対性の関係にあります。例えば、全順序集合における部分集合の結びは単にその最大元であり、交わりはその最小元となります。

半順序集合の種類との関連

結びと交わりが存在するかどうかに応じて、特別な種類の半順序集合が定義されます。

• - Join-semilattice: 半順序集合において、すべての元の対が結びを持つもの。
• - Meet-semilattice: 半順序集合において、すべての元の対が交わりを持つもの。
• - Lattice (束): Join-semilattice でもあり Meet-semilattice でもある半順序集合。すなわち、すべての元の対が結びと交わりの両方を持つもの。
• - Complete Lattice (完備束): 束において、すべての部分集合（対だけでなく）が結びと交わりの両方を持つもの。

すべての対に対して演算が定義されるわけではないが、その演算が特定の公理を満たす「部分束 (partial lattice)」という概念も存在します。

定義の異なる視点と同値性

結びと交わりは、主に二つの異なる視点から定義され、これらが本質的に同じ数学的構造を定めていることが示されます。

1. 半順序からのアプローチ

集合 A に半順序 ≤ が与えられているとします。x と y を A の二つの元としたとき、A の元 z が x と y の交わりであるとは、以下の二つの条件を満たすことをいいます。

1. z は x と y の下界である：z ≤ x かつ z ≤ y。
2. z は最大の下界である：w ≤ x かつ w ≤ y なる任意の A の元 w に対して、w ≤ z となる。

もしこのような z が存在すれば、それは一意に定まります（証明は容易です）。これを x ∧ y と書きます。すべての対に対して交わりが存在する場合、交わり ∧ は A 上の二項演算であり、前述の可換性、結合性、冪等性を満たします。
結びについても同様に、最小上界として定義されます。

2. 普遍代数学からのアプローチ

集合 A 上に、可換、結合的、冪等な二項演算 ∧ が与えられているとします。このとき、対 (A, ∧) は meet-semilattice と呼ばれます。この演算 ∧ を用いて、A 上に二項関係 ≤ を次のように定義できます。

x ≤ y ⇔ x ∧ y = x

驚くべきことに、この定義された関係 ≤ は A 上の半順序となります。これは以下のように確認できます。

反射律: x ≤ x は、x ∧ x = x (冪等性) により成り立ちます。
反対称律: x ≤ y かつ y ≤ x ならば、x ∧ y = x かつ y ∧ x = y です。可換性により x ∧ y = y ∧ x なので、x = y が導かれます。
推移律: x ≤ y かつ y ≤ z ならば、x ∧ y = x かつ y ∧ z = y です。このとき、x ∧ z = (x ∧ y) ∧ z (結合性) = x ∧ (y ∧ z) (可換性・結合性) = x ∧ y (仮定 y ≤ z) = x (仮定 x ≤ y) となり、x ∧ z = x、すなわち x ≤ z が成り立ちます。

同様に、可換、結合的、冪等な二項演算 ∨ からも、x ≤ y ⇔ x ∨ y = y という半順序を定義できます。ただし、∧ から定義される順序と ∨ から定義される順序は互いに逆向きになります。

同値性の確認

これらの二つのアプローチは、実質的に同じ数学的構造を定義しています。もし (A, ≤) が半順序集合で、すべての対が交わりを持つならば、そこで定義される交わり演算 ∧ は可換、結合的、冪等になり、かつ x ≤ y であることと x ∧ y = x であることは同値です。

逆に、もし (A, ∧) が meet-semilattice であり、上記の規則で定義された半順序 ≤ を持つならば、元の演算 x ∧ y は、この半順序 ≤ における x と y の最大下界となります。これは、x ∧ (x ∧ y) = (x ∧ x) ∧ y = x ∧ y から x ∧ y ≤ x が導かれ、同様に x ∧ y ≤ y も成り立ち、かつ任意の下界 w に対して w ≤ x かつ w ≤ y から w ∧ x = w かつ w ∧ y = w となり、w ∧ (x ∧ y) = (w ∧ x) ∧ y = w ∧ y = w となることから、w ≤ x ∧ y* が導かれることで示されます。

したがって、これら二つのアプローチは、一つの半順序関係と一つの二項演算を備えた集合であって、それらが相互に他方を決定し合うという、本質的に同等な構造を定めているのです。

一般の部分集合への拡張

すべての対が交わりを持つ meet-semilattice においては、交わり演算を反復適用することで、空でない任意の有限部分集合の交わりを矛盾なく定義できます。さらに、交わりが半順序を定義する、または半順序によって定義されるという観点から、空でない任意の（有限とは限らない）部分集合についても、その下限（最大下界）として交わりを考えることが自然です。すべての部分集合が交わりを持つような半順序集合は、前述の完備束となります。

これらの概念は、順序理論、束論、普遍代数学など、様々な数学の分野で基礎的な役割を果たしています。

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