完備束

完備束（かんびそく、英: complete lattice）は、数学の一分野である順序論における重要な概念です。特定の性質を持つ半順序集合として定義されます。具体的には、その集合内の任意の部分集合が、必ず上限（最小上界）と下限（最大下界）の両方を持つ順序集合のことを指します。この定義から、完備束は常に最小元と最大元を持つことになり、有界束の特別なクラスに含まれます。

順序集合 `(L, ≤)` において、任意の部分集合 `A` に対して、その下限は `∧A` と記され「結び（meet）」、その上限は `∨A` と記され「交わり（join）」と呼ばれることがあります。完備束の定義は、これらの結びと交わりが任意の部分集合に対して常にL内に存在することを要求します。特に、集合 `L` 全体に対しても上限 `∨L` と下限 `∧L` が存在し、これらがそれぞれ `L` の最大元と最小元となります。

完備束は、抽象代数学における束の研究や、より広い普遍代数の分野、さらには計算機科学など、数学の様々な領域で基本的な構造として現れます。多くの数学的対象の「集まり」が、自然な順序関係のもとで完備束を形成します。

関連する概念

完備半束: 半順序集合において、任意の部分集合が上限を持つこと（完備上半束）と、任意の部分集合が下限を持つこと（完備下半束）は、実は同値な条件であり、これらは完備束であることと同値です。したがって、完備上半束や完備下半束といった用語も、基本的には完備束と同じ対象を指します。ただし、これらの間の構造を保つ写像（準同型）の定義においては違いが生じます。また、順序集合の完備性には完備半順序（CPO）など、他にもいくつかの異なる定義が存在するため、文脈に応じて注意が必要です。

完備部分束: 完備束 `L` の部分集合 `M` が完備部分束であるとは、`M` 自身の順序構造が完備束になることではなく、`M` の任意の部分集合の `L` における下限と上限が、全て再び `M` に属することを指します。この条件を、空でない部分集合に対してのみ要求する場合、それは閉部分束と呼ばれます。

完備束の例

完備束は数学のいたるところに現れます。以下に代表的な例をいくつか挙げます。

有限束: 要素の数が有限であるような任意の束は、必ず完備束になります。
冪集合: ある集合のすべての部分集合を集めた集合（冪集合）に、包含関係による順序を入れたものは完備束になります。この場合の任意の部分集合族の下限はそれらの集合の共通部分、上限は合併として与えられます。
閉区間や実数: 単位区間 `[0,1]` や拡大実数直線（実数に ±∞ を加えたもの）は、通常の大小関係に関して完備束となります。一般に、全順序集合が完備束となることと、順序位相に関してコンパクトになることは同値です。
自然数: 自然数全体（0を含むか含まないかは文脈によるが、通常0を含む場合は整除関係のもとで完備束となる）に整除関係で順序を入れたものは完備束をなします。下限は最大公約数、上限は最小公倍数に対応します。
代数系の部分構造: 群の部分群全体、加群の部分加群全体、環のイデアル全体など、多くの代数系において、部分構造の全体は包含関係に関して完備束を形成します。
位相空間: 位相空間の開集合全体は包含関係のもとで完備束をなします。上限は集合としての合併、下限は共通部分の内部となります。集合上の可能な位相構造全体も、開集合系の包含関係で完備束をなします。
* その他の例: 実ベクトル空間の凸部分集合全体（下限は共通部分、上限は凸包）、ヒルベルト空間の閉部分空間全体、集合上の推移的関係や同値関係全体なども完備束となります。

完備束の間の写像

完備束の間の「良い」写像として、完備準同型（complete lattice homomorphism）があります。これは、完備束 `L` から完備束 `M` への写像 `f` であって、`L` の任意の部分集合 `A` に対して、`f` が `A` の下限と上限をそれぞれ `f(A)` の下限と上限に写す性質 `f(∧A) = ∧{f(a) | a∈A}` および `f(∨A) = ∨{f(a) | a∈A}` を満たすものです。このような写像は自動的に単調増加写像となります。上限のみを保つ写像は完備上半束準同型、下限のみを保つ写像は完備下半束準同型と呼ばれ、これらはガロア接続との密接な関係を持ちます。具体的には、完備上半束準同型はガロア接続の下随伴と、完備下半束準同型は上随伴と同値であることが知られています。

自由完備束と完備化

集合 `X` から「生成される」完備束や完備半束を考えることができます。完備半束の圏における自由対象である自由完備半束は、任意の集合 `X` に対して存在します。例えば、要素数が2点以上の集合 `X` に対しては、その冪集合 `P(X)` に包含関係で順序を入れたものが、`X` を1点集合として埋め込む写像のもとで自由完備半束となります。一方、完備束と完備準同型の圏における自由対象である自由完備束は、生成元の集合 `X` の要素数が3点以上の場合には存在しません。要素数が0, 1, 2の場合は存在します。

任意の半順序集合 `P` に対して、それを部分集合として含むような「最小の」完備束を構成することができ、これを `P` の完備化と呼びます。有名な構成方法として、デデキント切断の概念を一般化したデデキント・マクニール完備化があります。これは、`P` の下界集合全体に包含関係で順序を入れることで得られます。

関連する定理

完備束上で定義される重要な定理として、クナスタ・タルスキの定理があります。この定理は、完備束から自分自身への単調増加写像が与えられたとき、その写像の不動点（`x` が `f(x) = x` を満たす点）全体の集合が、再び完備束を形成することを示しています。これは、完備束上の閉包作用素（単調、冪等、拡大を満たす写像）の像が完備束になるという結果の一般化とみなすこともできます。

完備束は、その定義が比較的単純でありながら、豊富な構造と応用を持つ順序理論の基礎概念であり、代数、解析、計算機科学など多くの分野で重要な役割を果たします。

もう一度検索