結晶光学

結晶光学：異方性媒質における光の振る舞い

結晶光学は、光が伝播する方向によって異なる挙動を示す異方性媒質（結晶など）における光の性質を解明する光学の分野です。ガラスのような等方性媒質と異なり、結晶では光の屈折率が方向によって変化します。この異方性は、結晶の組成と構造に依存し、グラッドストーン・デールの式などで計算できます。液晶のように、外部電圧印加によって異方性を誘起できる媒質もあります。

等方性媒質

ガラスなどの透明な媒質は、一般的に等方性です。これは、光が媒質内をどの向きに進む場合でも、同じように振る舞うことを意味します。マクスウェル方程式によると、電気変位場Dと電場Eの間には以下の関係があります。

$\mathbf{D} = \varepsilon_0 \mathbf{E} + \mathbf{P}$

ここで、$\varepsilon_0$は真空の誘電率、$\mathbf{P}$は電気分極（媒質中の電気双極子モーメント）です。$\mathbf{P}$は、光の電場に対する媒質の応答を表します。

等方性で線形な媒質では、$\mathbf{P}$は$\mathbf{E}$に比例し、その方向と一致します。

$\mathbf{P} = \chi \varepsilon_0 \mathbf{E}$

ここで、$\chi$は電気感受率です。$\mathbf{D}$と$\mathbf{E}$の関係は、

$\mathbf{D} = \varepsilon_0 \mathbf{E} + \chi \varepsilon_0 \mathbf{E} = \varepsilon_0 (1 + \chi) \mathbf{E} = \varepsilon \mathbf{E}$

となります。$\varepsilon = \varepsilon_0 (1 + \chi)$は比誘電率です。非磁性媒質では、屈折率nと$\chi$の間には、$n = \sqrt{1 + \chi}$の関係があります。

異方性媒質

結晶などの異方性媒質では、$\mathbf{P}$は必ずしも$\mathbf{E}$と平行ではありません。これは、結晶構造に起因する特定の方向への電場への応答（双極子モーメント）によるものです。この関係は、以下のようにテンソル表記で表されます。

$\mathbf{P} = \varepsilon_0 \boldsymbol{\chi} \mathbf{E}$

ここで、$\boldsymbol{\chi}$はランク2のテンソル（電気感受率テンソル）です。3次元の場合は、行列表示で表されます。このテンソルにより、$\mathbf{P}$と$\mathbf{E}$は必ずしも共線ではありません。

非磁性で透明な材料では、$\boldsymbol{\chi}$は実対称テンソルです。そのため、適切な座標系を選ぶことで、対角化できます。この座標系における主軸方向（x, y, z）では、

$\mathbf{P}_i = \varepsilon_0 \chi_{ii} \mathbf{E}_i$ (i = x, y, z)

となります。これらの軸は直交します。$\mathbf{D}$と$\mathbf{E}$の関係は、テンソル$\boldsymbol{\varepsilon}$を用いて、

$\mathbf{D} = \varepsilon_0 \boldsymbol{\varepsilon} \mathbf{E}$

と表されます。ここで$\boldsymbol{\varepsilon}$は比誘電率テンソルです。屈折率もテンソルとなり、光波は方向によって異なる屈折率を感じます。

複屈折は、異方性結晶において、異なる偏光方向の光が異なる速度で伝播する現象です。一軸性結晶では、2つの屈折率（常光線、異常光線）を持ち、二軸性結晶では3つの屈折率を持ちます。一軸性結晶は、異常光線の屈折率が常光線の屈折率より大きい場合を正の一軸性、小さい場合を負の一軸性と呼びます。

その他の効果

外部電場印加による電気光学効果、磁場印加による磁気光学効果など、非線形光学現象も結晶光学の重要な研究対象です。電気光学効果では、電場によって誘電率テンソルが変化し、光の伝播特性が変化します。これは光変調器などに利用されます。磁気光学効果では、誘電率テンソルが複素エルミートになり、時間反転対称性が破れる場合があります。これは光アイソレータなどに利用されます。また、誘電率テンソルがエルミートでない場合、材料は特定の周波数で利得や吸収を示します。

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