絶対差

絶対差について

数学の世界において、絶対差（ぜったいさ、英: absolute difference）は非常に興味深い概念であり、2つの実数間の差の絶対値を表します。具体的には、2つの実数 x と y の絶対差は、記号 |x - y|を用いて表現され、これは実数直線上における x と y 対応する点間の距離を示します。この距離は、Lp-距離（1 ≤ p ≤ ∞）の特別な場合とも捉えることができ、有理数全体 Q や、実数全体 R に関する標準的な距離空間を設定します。

絶対差は、数学的な距離関数として様々な性質を備えています。それは以下のような特性です：

1. 非負性：任意の実数 x と y に対して、|x - y| は常に0以上です。
2. 不可識別者同一性：|x - y| = 0 の場合、x と y は等しいことを意味します。
3. 対称性：|x - y| は |y - x| と等しいため、順序を入れ替えても結果は変わりません。
4. 三角不等式：実数 x, y, z に対して |x - z| ≤ |x - y| + |y - z| が成り立ち、等号成立の条件は x ≤ y ≤ z の場合のみです。

これらの特性は、絶対差を用いて計算を行う上で非常に重要な役割を果たします。単に差をとるだけでは、これらの特性が満たされなくなることがありますが、特に x - y = 0 ⇔ x = y と x - z = (x - y) + (y - z) の関係は依然として成立します。

また、絶対差を基にして他の様々な量を定義することも可能です。具体的な例としては、相対差やタクシー幾何における L1-ノルム、さらにはグラフ理論における優美ラベリングなどが挙げられます。これにより、数学の多岐にわたる分野で絶対差の応用が見られます。

実際の計算において、コストが高い場合や導函が連続でない場合など、絶対値関数を使用することを避けたい場合があります。その一例として次のような関係式があります：

$$|x - y| < |z - w| \\ \iff (x - y)^2 < (z - w)^2$$

この関係が成立する理由は、|x - y|² = (x - y)² であり、平方する操作は非負実数に対して単調であるからです。このように、絶対差は数学のさまざまな場面で有用な道具として利用されています。

関連項目

• - 絶対偏差

参考文献

• - Weisstein, Eric W. “Absolute Difference”. mathworld.wolfram.com (英語)。

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