線型近似

線型近似とは

線型近似は、数学において、一般の複雑な関数の局所的な振る舞いを、比較的単純な一次関数（より厳密にはアフィン写像）を用いて近似する強力な手法です。特定の点の近くで関数がどのように変化するかを、直線や平面といった単純な図形として捉えることができます。この方法は、複雑な計算を単純化したり、関数の局所的な性質を解析したりするのに非常に役立ちます。

一変数関数の線型近似

最も基本的な場合として、一変数関数 $y=f(x)$ の線型近似を考えましょう。関数 $f(x)$ が点 $x=a$ の近くで十分に滑らか（2回微分可能など）であれば、テイラーの定理を用いることで、この点における関数の値を近似的に表現できます。

テイラーの定理の1次の項までを取ると、次のようになります。

$$f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + R_2$$

ここで、$f'(a)$ は点 $a$ における関数 $f$ の導関数、$R_2$ は剰余項と呼ばれる誤差の項です。

線型近似は、この剰余項 $R_2$ を無視することで得られます。

$$f(x) \approx f(a) + f'(a)(x-a)$$

この近似は、$x$ が中心点 $a$ に十分近い場合に精度が高くなります。興味深いことに、この近似式の右辺は、ちょうど関数 $y=f(x)$ のグラフ上の点 $(a, f(a))$ における接線の方程式に他なりません。このことから、線型近似はしばしば「接線近似」とも呼ばれます。

また、$x=a$ における線型近似の中で最も単純な形として、$f(x) \approx f(a)$ という近似も考えられます。これは点 $a$ における関数の値を一定とみなすもので、「標準線型近似」と呼ばれることがあります。この近似の中心となる点 $x=a$ は「センター」と呼ばれることがあります。

多変数関数への拡張

線型近似の考え方は、一変数関数だけでなく、多変数関数にも拡張できます。多変数関数の場合、一変数関数の導関数に対応するのは偏導関数や、それをまとめたヤコビ行列（関数行列）です。

例えば、微分可能な2変数関数 $f(x, y)$ の線型近似を、点 $(a, b)$ の近くで行うことを考えましょう。点 $(x, y)$ が点 $(a, b)$ に十分近いとき、次のように近似できます。

$$f(x, y) \approx f(a, b) + \frac{\partial f}{\partial x}(a, b)(x-a) + \frac{\partial f}{\partial y}(a, b)(y-b)$$

ここで $\frac{\partial f}{\partial x}(a, b)$ と $\frac{\partial f}{\partial y}(a, b)$ は、それぞれ点 $(a, b)$ における $f$ の $x$ および $y$ に関する偏導関数です。

この近似式の右辺は、幾何学的には3次元空間における曲面 $z=f(x, y)$ 上の点 $(a, b, f(a, b))$ における接平面の方程式を表しています。したがって、多変数関数の線型近似は「接平面近似」と見なすこともできます。

さらに一般的に、抽象的な空間であるバナッハ空間においても、フレシェ微分を用いることで線型近似が定義されます。関数 $f$ の点 $a$ におけるフレシェ微分を $Df(a)$ とすると、線型近似は次のように表されます。

$$f(x) \approx f(a) + Df(a)(x-a)$$

線型近似の例

線型近似を用いて具体的な計算の近似値を求めることができます。例として、$\sqrt[3]{25}$ の近似値を線型近似で求めてみましょう。

求めたい値は、関数 $f(x) = x^{1/3}$ の $x=25$ における値 $f(25)$ です。

線型近似を行うためには、計算しやすい中心点 $a$ を選ぶ必要があります。25に近い数のうち、3乗根が簡単に求められる数として $a=27$ を選びます。これは $27 = 3^3$ であるため、$f(27) = 27^{1/3} = 3$ と容易に計算できるからです。

次に、関数 $f(x)$ の導関数 $f'(x)$ を求めます。

$$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^{1/3}) = \frac{1}{3}x^{1/3 - 1} = \frac{1}{3}x^{-2/3}$$

中心点 $a=27$ における導関数の値を計算します。

$$f'(27) = \frac{1}{3}(27)^{-2/3} = \frac{1}{3}(3^3)^{-2/3} = \frac{1}{3}3^{-2} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3^2} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{9} = \frac{1}{27}$$

ここで、線型近似の式 $f(x) \approx f(a) + f'(a)(x-a)$ に $x=25$, $a=27$, $f(27)=3$, $f'(27)=\frac{1}{27}$ を代入します。

$$f(25) \approx f(27) + f'(27)(25-27)$$
$$f(25) \approx 3 + \frac{1}{27}(-2)$$
$$f(25) \approx 3 - \frac{2}{27}$$
$$f(25) \approx \frac{81}{27} - \frac{2}{27} = \frac{79}{27}$$

分数 $\frac{79}{27}$ を小数に直すと、$\frac{79}{27} \approx 2.925925...$ となります。これは約 2.926 です。

電卓などで真の値 $\sqrt[3]{25}$ を計算すると、約 2.924017... となります。線型近似で得られた 2.926 という値は、真の値に非常に近いことが確認できます。

このように、線型近似は複雑な計算を、中心点の周りでの比較的簡単な計算に置き換えることで、近似的な値を効率的に求める手段となります。

関連項目

差分法
テイラー展開
導関数
偏導関数
接線
接平面

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