アフィン写像

アフィン写像

アフィン写像は、幾何学において、二つのアフィン空間の間で定義される特別な種類の変換です。簡単に言えば、これは点を移動させる際に、回転、拡大縮小、せん断といった線型変換の操作に平行移動を組み合わせたものです。「アフィン（affine）」という言葉は、ラテン語の「affinis」に由来し、「類似」や「関連」といった意味を持っています。

特に、変換の対象となる空間と変換後の空間が同一である場合、そのアフィン写像はアフィン変換と呼ばれます。アフィン変換は、アフィン空間が持つ基本的な構造、例えば点の間の位置関係や線分比などを保つという重要な性質を持っています。

アフィン変換の基本

一般的なアフィン変換は、線型変換（回転、拡大縮小、せん断など）と平行移動を組み合わせたものとして捉えられます。有限次元のアフィン空間においては、アフィン変換は通常、入力される点やベクトル `x` に対して、行列 `A` による線型変換 `Ax` にベクトル `b` による平行移動を加えた `Ax + b` の形で表現できます。ここで、行列 `A` は線型変換の部分を、ベクトル `b` は平行移動の部分を担います。

幾何学的に見ると、アフィン変換はユークリッド空間内で以下のような性質を保ちます。

共線性: 同一直線上にある三点のアフィン変換による像も、必ず同一直線上に並びます。
線分比: 同一直線上にある三点に対して、それらの点によって分割される線分の長さの比率は、アフィン変換後も変化しません。

形式的な定義

より厳密には、アフィン空間 $(A, V(A))$ からアフィン空間 $(B, V(B))$ へのアフィン写像 $f$ は、空間上の点の写像 $f: A \to B$ と、それに付随するベクトル空間間の線型写像 $V(f): V(A) \to V(B)$ の組 $(f, V(f))$ として定義されます。このとき、任意の点 $P \in A$ と任意のベクトル $a \in V(A)$ に対して、$f(P + a) = f(P) + V(f)(a)$ という関係が成り立ちます。これは、点 $P$ をベクトル $a$ の分だけ平行移動した点の像が、$P$ の像 $f(P)$ をベクトル $V(f)(a)$ の分だけ平行移動したものと一致することを意味します。

原点を基準として位置ベクトルを考えると、アフィン写像は位置ベクトルの空間において、$y = V(f)(x) + b$ という形の変換として作用することがわかります。ここで $x$ は入力点の位置ベクトル、$y$ はその像の位置ベクトル、$V(f)$ は対応する線型写像、そして $b$ は平行移動を表す定ベクトルです。

表現方法

アフィン変換は、通常の行列とベクトルによる表現 `y = Ax + b` の他に、斉次座標と呼ばれる手法を用いて、線型変換と平行移動を統一的に一つの行列計算として表現することも可能です。これは、ベクトルに余分な成分「1」を追加し、行列を拡張することで実現されます。この拡大係数行列による表現は、複数のアフィン変換を連続して行う際に、それぞれの変換行列を単純に掛け合わせるだけで合成変換の行列が得られるため、特にコンピュータグラフィックスなどの分野で広く利用されています。

アフィン変換の性質

アフィン変換が逆変換を持つ、すなわち可逆であるとき、それを正則アフィン変換と呼びます。これは、その線型変換部分を表す行列 `A` が正則であることと同値です。正則アフィン変換全体の集合は、写像の合成を演算としてアフィン変換群を形成します。この群は、線型変換全体のなす一般線型群を含むより大きな群です。

アフィン変換群の中には、幾何学的に特別な性質を持つ変換からなる部分群が存在します。例えば、形状を保ったまま拡大縮小や回転、平行移動を行う相似変換や、面積や体積を保つ等積変換（線型変換部分の行列式が ±1）などが含まれます。これらを組み合わせた等距変換（剛体の運動）もアフィン変換の一種です。

アフィン変換が一つ以上の点を動かさない不動点を持つかどうかは重要な性質です。線型変換部分の行列 `A` が単位行列 `I` との差 `A - I` が可逆であることと、ちょうど一つの不動点を持つことは同値です。アフィン変換が不動点を持つ場合、その不動点を原点とみなすことで、変換を平行移動を含まない単純な線型変換として捉え直すことができ、変換の性質をより深く理解する助けとなります。

アフィン変換と線型変換の違い

アフィン変換は直線を直線に写すという点で線型変換と似ていますが、重要な違いがあります。線型変換は任意の線型結合を保つのに対し、アフィン変換はアフィン結合（係数の合計が1になる線型結合）を保ちます。

これは、空間内の部分集合に対しても影響します。部分線型空間は原点を通り、線型結合に関して閉じていますが、部分アフィン空間は部分線型空間を平行移動したものであり、原点を通るとは限らず、アフィン結合に関して閉じている集合です。例えば、3次元空間において、原点を通る直線や平面は部分線型空間ですが、原点を通らない一般的な直線や平面は部分アフィン空間です。

また、ベクトルの集合が線型独立であることとアフィン独立であることにも違いがあります。線型独立はどのベクトルも他の線型結合で表せないことですが、アフィン独立はどのベクトルも他のアフィン結合で表せないことを指します。アフィン結合によって張られる集合は、必ず部分アフィン空間となります。

平面上のアフィン変換のイメージ

平面上でアフィン変換をイメージするには、一つの平行四辺形がどのように別の平行四辺形に変換されるかを考えるのが有効です。元の平行四辺形の頂点を新しい平行四辺形の頂点に写すようなアフィン変換は（元の平行四辺形が潰れていない限り）一意に定まります。この変換は、元の平行四辺形を基本とした格子を、新しい平行四辺形を基本とした格子に変換すると考えることができます。

アフィン変換は一般に長さや角度を保ちませんが、面積は一定の比率で変化させます。この比率は、変換後の平行四辺形の面積と元の平行四辺形の面積の比で与えられます。また、アフィン変換には、空間の「向き」を保つ（正のアフィン変換）か、反転させる（逆のアフィン変換）かの区別があります。これは、変換の線型部分の行列式が正か負かによって決まります。

アフィン写像やアフィン変換は、コンピュータグラフィックスでの図形変形、画像処理、ロボット工学など、多岐にわたる分野で基礎的なツールとして活用されています。

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