線形帰還シフトレジスタ

線形帰還シフトレジスタ（LFSR）とは

線形帰還シフトレジスタ（Linear Feedback Shift Register, LFSR）は、デジタル回路において広く使用される重要な要素です。LFSRは、その名の通り、シフトレジスタの一種であり、出力ビットが過去の状態に依存する線形写像によって決定されるという特徴を持ちます。この仕組みにより、LFSRは擬似乱数列を生成するのに非常に役立ち、様々な応用分野で活用されています。

LFSRの基本原理

LFSRの基本的な構造は、複数のフリップフロップ（記憶素子）を直列に接続したシフトレジスタです。各フリップフロップは1ビットの情報を保持し、クロック信号によってその状態が次のフリップフロップに移動します。LFSRのユニークな点は、シフトレジスタの一部のビットがXOR（排他的論理和）演算によって組み合わされ、その結果が最初のフリップフロップに入力される点です。

タップとタップシーケンス

LFSRにおいて、XOR演算に使用されるビットの位置は「タップ」と呼ばれます。タップの位置を列挙したものを「タップシーケンス」と呼びます。例えば、16ビットのLFSRで、16番目、14番目、13番目、11番目のビットをタップとする場合、タップシーケンスは[16, 14, 13, 11, 0]となります。

フィボナッチLFSR

フィボナッチLFSRでは、タップ位置のビットがXOR演算され、その結果が左端（入力）にフィードバックされます。この構造が最も一般的なLFSRの形式です。

最長LFSR

LFSRは、初期状態（シード）とタップシーケンスによって、生成されるビット列が決定されます。特に、全ビットが0の状態を除く、全ての可能な状態を周期的に巡回するLFSRは「最長LFSR」と呼ばれます。この最長LFSRが生成するビット列は、擬似乱数として利用するのに適しています。最長LFSRの周期は \(2^n - 1\) （nはLFSRのビット数）となります。

帰還多項式

LFSRのタップシーケンスは、多項式で表現することができます。この多項式を「帰還多項式」または「特性多項式」と呼びます。例えば、タップシーケンスが[16, 14, 13, 11, 0]の場合、帰還多項式は\(x^{16} + x^{14} + x^{13} + x^{11} + 1\)と表されます。LFSRが最長となるためには、帰還多項式が原始多項式である必要があります。

ガロアLFSR

フランスの数学者エヴァリスト・ガロアにちなんで名付けられたガロアLFSRは、フィボナッチLFSRとは異なる構造を持ちますが、同じビット列を生成することができます。ガロアLFSRでは、タップでないビットはそのまま次のフリップフロップにシフトされ、タップ位置にあるビットは、新しい出力ビットとXOR演算されます。この構造により、ガロアLFSRは並列処理が容易で、高速化に適しています。

LFSRの応用

LFSRは、その特性から、様々な分野で広く利用されています。

擬似乱数生成

LFSRは、周期が非常に長く、統計的な特性が乱数に近い擬似乱数列を生成することができます。そのため、シミュレーション、ゲーム、暗号化など、多くの分野で乱数発生器として利用されています。

データスクランブリング

データ通信や放送の分野では、データの連続性を解消するために、LFSRで生成された擬似乱数でデータをスクランブルします。これにより、信号の同期を改善し、エラー発生を低減することができます。スクランブルされたデータは、受信側で同じLFSRを使って元に戻すことができます。

カウンタ

LFSRは、簡単な回路構成で高速なカウンタとして利用できます。通常の2進カウンタよりもフィードバック論理回路が単純なため、高速動作が可能です。LFSRカウンタは、インデックスやフレーム位置の指示などに使われます。

暗号

LFSRは、ストリーム暗号の擬似乱数生成器としても利用されてきました。しかし、LFSRは線形システムであるため、解読が比較的容易です。そのため、LFSRを単独で使うのではなく、非線形な処理を組み合わせることで、セキュリティを強化する手法が用いられています。

デジタル放送と通信

LFSRは、デジタル放送や通信システムにおいて、データストリームの無作為化に使用されています。これにより、シンボルの区切りを明確にし、信号の品質を向上させることができます。また、LFSRは、直接シーケンススペクトラム拡散などの無線通信技術にも応用されています。

まとめ

線形帰還シフトレジスタ（LFSR）は、デジタル回路における重要な要素であり、擬似乱数生成、データスクランブリング、カウンタ、暗号など、多岐にわたる応用があります。LFSRの基本原理、フィボナッチ型とガロア型の構造、そしてその応用例を理解することで、デジタルシステムの設計や解析に役立てることができます。

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