エヴァリスト・ガロア

エヴァリスト・ガロア：革命の炎と数理の才能

エヴァリスト・ガロア（1811年 10月25日 - 1832年 5月31日）は、19世紀初頭のフランスを生きた数学者であり、革命家という二つの顔を持つ人物でした。彼は、現代数学に不可欠な「ガロア理論」の基礎を築きましたが、その革新的な研究は生前には正当に評価されず、20歳という若さで不遇な死を遂げました。

数学的業績：時代を先取りした天才

ガロアは10代の頃から、後の「ガロア理論」の構成要素となる体論や群論といった分野で、先見的な研究を行いました。彼は、ニールス・アーベルによって証明された「五次以上の方程式には一般的な代数的解の公式が存在しない」という定理（アーベル-ルフィニの定理）を、ガロア理論を用いて簡潔に証明し、さらに一般化しました。具体的には、与えられた方程式が代数的な解を持つための条件を明確にしました。これは、方程式論における重要な進歩でした。

また、ガロアは数学史上初めてカテゴリー論的な操作を用いて自らの理論の基礎を構築しました。群論は数学だけでなく、物理学における相対性理論や量子力学の記述、計算機科学におけるガロア体の応用など、様々な分野で重要な役割を果たしています。ガロア理論は、現代科学のあらゆる分野に影響を与え続けています。

しかし、ガロアの業績はその独創性ゆえに、当時の数学界には理解されませんでした。パリ科学アカデミーをはじめ、ガウスやコーシーといった同時代の偉大な数学者たちもその真価を認識することができず、彼は生前に評価されることはありませんでした。群論の基礎概念である集合論がゲオルク・カントールによって提唱され、ガロア理論へと繋がる数学領域が構築されたのは、ガロアがその理論を構築してから50年も後のことでした。

ガロアが死を前に友人へ宛てた手紙は、遺書とも言える内容で、そこには後の数学者たちが長年研究することになる理論に対する着想が、「僕にはもう時間がない」という言葉と共に書き綴られています。例えば、代数的には解けない五次以上の方程式の解を与える、楕円モジュラー関数による超越的解の公式の存在を予言し、そのアイデアを記しています。この手法は、彼の死後50年を経てシャルル・エルミートによって確立されました。

激動の生涯：革命と挫折

ガロアの生涯は、その数学的業績の難解さも相まって、激動に満ちたものとして知られています。彼の死後40年を経て業績が注目を集めるようになった一方で、その生涯や人物像は長らく顧みられることがありませんでした。1896年、高等師範学校の歴史学教授ポール・デュピュイが発表した論文「エヴァリスト・ガロアの生涯」は、ガロアの生涯に関する最初の本格的な研究であり、彼の母方の親戚や姉の遺族、学友たちの証言に基づいて書かれました。この論文は、後世のガロア研究における原典となり、現在に至るまで影響を与えています。

1811年、ガロアはパリ郊外のブール＝ラ＝レーヌで生まれました。父は公立学校の校長であり、後に町長に任命されました。母は教養深く、明るい家庭で育ちました。1823年、ガロアはパリの名門リセ・ルイ＝ル＝グランに入学しますが、校内の保守的な雰囲気に反発し、学業をおろそかにするようになります。しかし、数学に目覚めると才能を開花させ、ラグランジュの論文に影響を受け、最初の論文を発表しました。その後、素数次方程式を代数的に解く方法を発見し、論文をコーシーに託しますが、紛失してしまいます。

1829年、ガロアの父が自殺し、さらに理工科学校の受験に失敗するという不幸が重なります。その後、高等師範学校に入学しますが、政治活動に傾倒し、7月革命に参加しようとして校長に阻止されます。共和主義に傾倒したガロアは、校長の言動に反発し、学校新聞に批判的な記事を発表したため、退学処分となります。

その後もガロアは数学の研究を続けながら、政治活動を活発化させます。しかし、ルイ・フィリップ王への脅迫とみなされる言動により逮捕され、投獄されます。獄中でポアソンから論文の書き直しを求められますが、刑務所内でのいじめや体調不良に苦しみます。仮出所後、失恋を経験し、決闘を申し込まれ、重傷を負い、20歳という若さでこの世を去りました。

ガロアの死後、彼の遺した論文はジョゼフ・リウヴィルによって見出され、1846年に発表されました。リウヴィルは、ガロアの才能を認めつつも、その簡潔さを追求するあまり明快さを欠いていたことが、生前の評価を妨げた原因であると分析しています。その後、リヒャルト・デーデキントやカミーユ・ジョルダンらによってガロア理論の研究が進められ、現代数学の基礎として確立されました。

ガロアの生涯は、その数学的才能と革命家としての情熱、そして不遇な運命が入り混じった、波乱に満ちたものでした。彼の業績は、現代数学において重要な位置を占めており、その名は永遠に数学史に刻まれています。

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