置換の符号

置換の偶奇性と符号の定義

数学において、有限集合 X の置換は偶置換と奇置換の二つに分類されます。この分類は、X の元の対の「転倒数」を用いて行われ、特に全順序が固定されている場合、置換の偶奇性（パリティ）を明確にすることが可能です。転倒数とは、与えられた置換 σ に対して、条件 x < y でありながら σ(x) > σ(y)となる元のペアの数を指します。

置換の符号、または符号数は、置換が偶置換であれば +1、奇置換ならば -1 が割り当てられます。この符号を示す函数は、対称群 Sn の重要な特徴を持ち、交代指標と呼ばれています。また、置換における符号にはレヴィ－チヴィタ記号による表現もあり、これは全単射でない場合には 0 を与えます。

具体的には、置換 σ の符号は以下の式で表されます。

$$
sgn(σ) = (-1)^{inv(σ)}
$$

ここで、inv(σ)は σ の転倒数を表しています。この転倒数は、置換が隣接互換として表すのに必要な最小の回数とも一致します。また、置換の符号を互換の積への分解からも定義可能であり、互換の数を m とした場合の式は以下の通りです。

$$
sgn(σ) = (-1)^{m}
$$

この互換の積への分解は一意ではありませんが、分解に現れる互換の個数の偶奇性は特定の置換に対して一定です。このため、符号は矛盾なく定義されます。

置換 σ の符号の他の定義方法としては、差積 Δ(x1, …, xn)に対する作用を通じて以下のようにも表現できます。

$$
sgn(σ) = rac{ ext{prod}_{i $$

この式により、数学的に符号を定義する新たなアプローチが提供されます。さらに、類似の表現としても以下があります。

$$
sgn(σ) = rac{ ext{prod}_{i $$

置換 σ の符号 sgn(σ)を効率的に求めるためには、互いに素な q 個の巡回置換への分解に注目し、(−1)^{n - q}を計算する方法が最適です。

一般化

この偶奇性の概念は、コクセター群にも一般化できます。対称群において各置換を互換の積として表すのと似て、コクセター群の各要素 v は、選択された生成元の積で表現されます。このとき、元の数に基づいて長さ函数 l(v)を定義し、一般化された符号函数は v ↦ (−1)^{l(v)}として与えられます。

関連項目

• - 15パズル：古典的な応用例（実際は亜群に関連）
• - Zolotarevの補題
• - 行列式の定義

行列式は以下のように表されます。

$$
det A = extstyle ext{sum}_{ au ext{ in } S_{n}} igg( sgn( au) ext{prod}_{i=1}^{n} a_{i, au(i)} igg)
$$

注

参考文献

• - Weisstein, Eric W. “Even Permutation”. MathWorld
• - Jacobson, Nathan (2009). Basic Algebra. 2nd ed. Dover
• - Rotman, J.J. (1995). An Introduction to the Theory of Groups. Springer-Verlag
• - Goodman, Frederick M. Algebra: Abstract and Concrete.
• - Meijer, Paul Herman Ernst; Bauer, Edmond (2004). Group Theory: The Application to Quantum Mechanics. Dover Publications

外部リンク

• - 差積の意味と置換の符号が定義できることの証明
• - Signature (permutation) in Encyclopedia of Mathematics

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