荷電共役変換

荷電共役変換（C変換）とは

荷電共役変換（charge-conjugation transformation）とは、素粒子を反粒子と入れ替える操作のことです。この変換は作用素 \( C \) で表されるため、C-変換とも呼ばれます。ある粒子が力学変数 \( \psi \) で表されるとき、その反粒子は

\[
C \psi C^{-1}
\]

などで表現されます。

反粒子の反粒子は元の粒子に戻るため、

\[
CC = C^2 = 1
\]

が成り立ちます。つまり、C-変換は \( Z_2 \) 変換の一例です。

荷電共役対称性（C-対称性）

荷電共役変換の下で対称性を持つことを、荷電共役対称性、またはC-対称性と呼びます。電磁相互作用や強い相互作用はC-対称性を持っていますが、弱い相互作用はC-対称性を大きく破ることが知られています。また、弱い相互作用は鏡映変換（パリティ変換、P-変換）の下での対称性も大きく破りますが、荷電共役変換と鏡映変換を同時に行うCP変換の下では、近似的に対称性が回復します。

理論における荷電共役変換

ここでは、連続変換としての位相変換を考え、U(1)チャージを持つ場を例に説明します。

スカラー場

自由な複素スカラー場 \( \phi \) を記述するラグランジュ関数は、

\[
\mathcal{L} = (\partial_\mu \phi)^ (\partial^\mu \phi) - m^2 \phi^ \phi
\]

で与えられます。反粒子は粒子と同じ質量を持つため、複素スカラー場 \( \phi \) で表される粒子の反粒子は、質量項を作る複素共役場 \( \bar{\phi} \) となります。

複素スカラー場の微小な位相変換は、

\[
\phi \rightarrow e^{i q \epsilon} \phi \approx (1 + i q \epsilon) \phi
\]

と表されます。ここで \( \epsilon \) は変換のパラメータ、\( q \) はスカラー場のチャージです。このとき、複素共役場に対しては、

\[
\bar{\phi} \rightarrow e^{-i q \epsilon} \bar{\phi} \approx (1 - i q \epsilon) \bar{\phi}
\]

となり、複素共役場のチャージは \( -q \) であることがわかります。これは、チャージが反転していることを意味します。

したがって、スカラー場の荷電共役変換は、

\[
C : \phi \rightarrow \bar{\phi}
\]

となります。ラグランジュ関数は荷電共役変換によってその形を保つため、自由な複素スカラー場の理論は荷電共役対称性を持ちます。

単一のスカラー場に対する相互作用として、U(1)対称性を持つものに限れば、例えば

\[
V = \lambda (\phi^ \phi)^2
\]

という相互作用が考えられます。この相互作用項も荷電共役対称性を持ちます。

もし模型が2種類のスカラー場を含み、それぞれのチャージの間に

\[
q_1 = -q_2
\]

の関係がある場合を考えます。このとき、U(1)対称性を持つ相互作用項としては、例えば

\[
V = g \phi_1^ \phi_2 + g^ \phi_2^ \phi_1
\]

が考えられます。この相互作用項では、荷電共役変換により二つの相互作用項の結合定数 \( g \) と \( g^ \) が入れ替えられます。荷電共役対称性を持つためには、二つの結合定数が等しいこと、つまり結合定数 \( g \) が実数であることが要求されます。

参考文献

M.E.Peskin, D.V.Schroeder (1995). “Charge Conjugation”. An Introduction to Quantum Field Theory. Westview Press. pp. 70-71. ISBN 978-0-201-50397-5

関連項目

時間反転
鏡映
* CPT定理

もう一度検索