複素指数函数

複素指数関数：実関数からの拡張と複素解析における役割

複素指数関数とは、実数の指数関数 e^x を複素数全体に拡張した関数です。実数の指数関数は、ネイピア数 e を底とする指数関数として定義されますが、複素指数関数は、その定義域を実数から複素数へ広げたものです。

定義

複素指数関数の定義は、主に2つの方法があります。1つ目は、冪級数による定義です。任意の複素数 z に対して、複素指数関数 exp(z) は以下の無限級数で定義されます。


exp(z) = Σ (zⁿ / n!) (n = 0 から ∞)


この定義では、複素指数関数は整関数、つまり複素平面全体で解析的な関数となります。

もう1つの定義は、オイラーの公式を用いたものです。複素数 z を z = x + iy（x, y は実数、i は虚数単位）と表すと、複素指数関数は次のように定義されます。


exp(z) = exp(x + iy) = e^x(cos(y) + i sin(y))


この定義では、実指数関数と三角関数を用いて複素指数関数を表現しています。オイラーの公式は、これら2つの定義が同値であることを示しています。

基本的な性質

複素指数関数は、実指数関数と同様にいくつかの重要な性質を持っています。

周期性: 複素指数関数は周期 2πi を持つ周期関数です。つまり、任意の複素数 z と整数 n について、exp(z + 2nπi) = exp(z) が成り立ちます。この周期性により、複素指数関数の逆関数である複素対数関数は多価関数となります。
指数法則: 任意の複素数 z, w について、exp(z)exp(w) = exp(z + w) が成り立ちます。これは、実指数関数の指数法則の複素数への拡張です。
微分可能性: 複素指数関数は複素微分可能であり、その導関数は自身に一致します。つまり、d/dz exp(z) = exp(z) です。
絶対値: 複素指数関数の絶対値は、引数の実部のみによって決まり、虚部には依存しません。具体的には、|exp(z)| = e^x です。

複素対数関数との関係

複素指数関数の逆関数は複素対数関数です。しかし、複素指数関数の周期性のため、複素対数関数は多価関数となります。そのため、複素対数関数の主値を定義することで、一価関数として扱うことができます。複素対数関数は、積分を用いて定義することもできます。


log(z) = ∫₁^z (dζ/ζ)


この積分は、積分路の取り方によって異なる値をとるため、多価関数となります。

まとめ

複素指数関数は、実指数関数を複素数へ拡張した関数であり、複素解析において中心的な役割を果たします。その定義、性質、特に複素対数関数との関係を理解することで、複素解析における様々な問題に取り組むことができます。 周期性や多価性といった、実関数にはない性質も理解することが重要です。これらの性質は、フーリエ解析や微分方程式の解法など、様々な分野に応用されています。 さらに、複素指数関数は、三角関数や双曲線関数とも密接に関連しており、これらの関数の性質を理解する上でも重要な概念となります。

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