豊穣圏

豊穣圏（ほうじょうけん）

豊穣圏は、数学の一分野である圏論において、従来の圏の概念を一般化したものです。通常の圏では、二つの対象の間にある「射の集まり」は単なる集合ですが、現実の多くの応用では、この射の集まりがさらに豊かな数学的構造（例えばベクトル空間や位相空間など）を備えていることがあります。

このような追加構造を持つ射の集まりを扱うために考案されたのが豊穣圏です。豊穣圏では、対象の対に対応する「射集合」の代わりに、何らかの固定されたモノイド圏（これを「射圏」と呼びます）の対象を用います。このモノイド圏は、その対象間に「合成」と見なせる二項演算を持ち、結合律や単位律を満たす構造を持っています。文脈に応じて、この演算は可換であったり、特別な性質を持ったりすることがあります。

したがって、豊穣圏論は、一見異なるように見える多様な構造を同じ枠組みで捉えることを可能にします。例えば、以下のような構造が豊穣圏として記述できます。

射集合が単なる集合ではなく、演算や性質を備え、それらが射の合成と整合する通常の圏（例：2-圏、アーベル圏など）
個々の射の概念は持たないが、対象間の関係（射対象）が圏論的な合成律を満たすもの（例：前順序集合、距離空間など）

射圏として集合の圏に通常のデカルト積によるモノイド構造を与えた場合を考えると、その豊穣圏は通常の（局所的に小さい）圏論における概念と一致します。

定義

モノイド圏 M = (M, ⊗, I, α, λ, ρ) が与えられたとき、M上の豊穣圏 C は以下の要素から構成されます。

1. C の対象の集まり ob(C)。
2. 任意の対象の対 a, b ∈ ob(C) に対し、M の対象 C(a, b)（これを「射対象」と呼びます）。
3. 各対象 a ∈ ob(C) に対し、M の射 ida: I → C(a, a)（「豊穣化された恒等射」）。
4. 任意の対象の三つ組 a, b, c ∈ ob(C) に対し、M の射 ∘abc: C(b, c) ⊗ C(a, b) → C(a, c)（「豊穣化された合成」）。

これらの要素は、特定の可換図式を満たす必要があります。これは通常の圏における結合律と単位律に対応しますが、個々の射ではなく、射圏 M における射（ida, ∘abc）とその間のモノイド構造によって表現されます。例えば、合成の結合律は、M における結合子 α を用いた図式の可換性として表現され、これは豊穣圏 C 自身が個々の射を持つかどうかに依存しません。

通常の圏との関係

豊穣圏において、射圏 M が集合の圏 (Set) であり、モノイド構造がデカルト積 (×) と終対象である一点集合 ({•}) の定めるものである場合、射対象 C(a, b) は対象 a から b への射の「集合」と解釈でき、豊穣化された合成 ∘ は通常の射の合成関数となります。この場合、豊穣圏の公理（図式の可換性）は、通常の圏の結合律と単位律に完全に一致します。したがって、通常の圏は Set 上の豊穣圏と見なすことができます。

命名

モノイド圏 M 上の豊穣圏は、M-豊穣圏、または単に M-圏と呼ばれることもあります。マクレーンがモノイド圏を表すのに V を用いたことから、V-圏という呼び方も一般的です。

豊穣圏の例

多様な数学的構造が豊穣圏として捉えられます。

通常の圏: Set 上の豊穣圏。
2-圏: 小さい圏の圏 Cat とデカルト積によるモノイド構造で豊穣化された圏。対象間の「射」（1-セル）の間に「2-セル」が存在し、それらの合成が定義されます。
前順序集合: ブール値 {FALSE, TRUE} を二つの対象とし、FALSE → TRUE のみを射とする圏 2 を射圏とし、論理積をモノイド演算とした豊穣圏。射対象 C(a, b) は関係 a ≤ b が成り立つかどうかに対応し、豊穣圏の公理は順序の反射律・推移律となります。
（擬準）距離空間: 非負拡大実数全体 R+∞ に逆順序 ≥ を射とし、加法 + をモノイド演算としたモノイド圏で豊穣化された圏。射対象 C(a, b) は二点間の距離 d(a, b) に対応し、豊穣圏の公理は距離の非負性・三角不等式となります。
* 前加法圏: アーベル群の圏 Ab とテンソル積 ⊗ によるモノイド構造で豊穣化された圏。射対象 C(a, b) はアーベル群の構造を持ち、射の加法が定義されます。

豊穣函手

豊穣圏の間の構造を保つ写像は豊穣函手と呼ばれます。M-豊穣圏 C から D への M-豊穣函手 T は、C の対象を D の対象に写すだけでなく、各対象の対 a, b ∈ ob(C) に対して、射対象の間の M の射 Tab: C(a, b) → D(T(a), T(b)) が存在し、豊穣化された恒等射と合成を保つ（対応する図式が可換となる）性質を満たします。

台となる圏

任意のモノイド圏 M は、集合の圏への特定のモノイド函手（M(I, –)）を持ちます。これにより、M-豊穣圏は、その「台」となる通常の圏（対象は同じで、射は特別な方法で定義される）を持つことができます。多くの場合、この函手は忠実であり、M-豊穣圏は通常の圏に追加の構造が付与されたものとして理解されます。

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