前加法圏

前加法圏（ぜんかほうけん、Preadditive Category）

数学の一分野である圏論において、「前加法圏」とは、対象間の射の集まり（ホム集合）が可換群としての構造を持ち、さらに射を組み合わせる合成操作が、この可換群の加法に対して双線形性という性質を満たす圏のことを指します。これは、可換群全体のなす圏 $\mathbf{Ab}$ によって「豊かにされた」圏と表現されることもあります。圏 $\mathbf{C}$ が前加法的であるとは、具体的には、任意の対象 $A, B$ に対してホム集合 $\mathrm{Hom}(A, B)$ が可換群であり、かつ射の合成 $\circ: \mathrm{Hom}(B, C) \times \mathrm{Hom}(A, B) \to \mathrm{Hom}(A, C)$ が双線形写像である、という二つの条件が満たされることを意味します。

可換群の圏がしばしば $\mathbf{Ab}$ と表記されることに由来し、前加法圏は「$\mathbf{Ab}$-圏」と呼ばれることもあります。一部の文献では、前加法圏を単に「加法圏」と呼ぶ例も見られますが、最近の圏論では、前加法圏の中でも特定の追加条件（後述の双積を持つこと）を満たす圏を「加法圏」と区別して呼ぶことが一般的です。

具体的な例

前加法圏の最も基本的な例は、可換群とその間の準同型からなる圏 $\mathbf{Ab}$ 自身です。$\mathbf{Ab}$ は閉モノイダル圏でもあります。可換群における準同型の和が再び準同型となる性質は、この構造において極めて重要です。これとは対照的に、全ての群からなる圏では閉構造を持ちません。

他にも、様々な前加法圏が存在します。

環 $R$ 上の（左）加群とその間の $R$-準同型からなる圏 $R$-Mod。特に、体 $K$ 上の線形空間とその間の線形写像からなる圏 $K$-Vectは、$K$-Modの特殊な場合です。
環 $R$ 上の行列環を用いて構成される圏 $\mathrm{Mat}(R)$。
単位元を持つ任意の環 $R$ を、対象が一つだけの圏とみなした場合、これは前加法圏となります。この圏では、唯一のホム集合が環の台となる可換群であり、射の合成は環の乗算に対応します。環の乗算は加法に対して分配法則を満たすため、これは双線形性の条件を満たします。

これらの例からわかるように、前加法圏の概念は環や加群といった、線形代数や抽象代数で馴染み深い構造を抽象化・一般化する枠組みとして機能します。

基本的な性質

前加法圏では、ホム集合 $\mathrm{Hom}(A, B)$ が可換群であるため、必ず加法に関する単位元が存在します。これは、対象 $A$ から $B$ への「ゼロ射」と呼ばれる特別な射 $0_{AB}$ に相当します。射の合成が双線形であるという条件から、任意の射 $f$ に対して、ゼロ射との合成 $f \circ 0$ および $0 \circ f$ は常にゼロ射となります。これはあたかも、掛け算においてどんな数にゼロを掛けてもゼロになることに似ています。また、双線形性は、合成が射の和に対して分配的であること、すなわち $h \circ (f+g) = h \circ f + h \circ g$ および $(f+g) \circ k = f \circ k + g \circ k$ が成り立つことを意味します。

特定の一つの対象 $A$ に注目すると、自己準同型のホム集合 $\mathrm{Hom}(A, A)$ は、射の合成を乗法と見なすことで環の構造を持ちます。この環は $A$ の自己準同型環と呼ばれます。逆に、単位元を持つ任意の環 $R$ は、対象を一つだけ持つ前加法圏 $\mathbf{R}$ を定義することで、その自己準同型環として現れると見なすことができます。圏論の研究においては、環 $R$ と、この1対象からなる前加法圏 $\mathbf{R}$ を、本質的に同じ数学的実体の異なる表現として扱うことがよくあります。この視点から、前加法圏は環を一般化した概念であると捉えることが可能です。環論における多くの概念（例えばイデアル、ジャコブソン根基、剰余環など）は、前加法圏の文脈で自然に一般化されます。

加法的関手

二つの前加法圏 $\mathbf{C}$ と $\mathbf{D}$ の間の関手 $F: \mathbf{C} \to \mathbf{D}$ が「加法的」であるとは、その関手が圏 $\mathbf{Ab}$ で豊かにされた関手であること、換言すれば、$\mathbf{C}$ の任意の対象 $A, B$ に対して、射を写す写像 $F_{A,B}: \mathrm{Hom}(A, B) \to \mathrm{Hom}(F(A), F(B))$ が群準同型であること、を指します。前加法圏の研究において考察される関手のほとんどは、この加法的な性質を持ちます。

環 $R$ と $S$ をそれぞれ1対象の前加法圏 $\mathbf{R}$ と $\mathbf{S}$ として捉えるならば、環準同型 $R \to S$ は、前加法圏 $\mathbf{R}$ から $\mathbf{S}$ への加法的関手に対応します。

また、圏 $\mathbf{C}$ と前加法圏 $\mathbf{D}$ が与えられたとき、関手圏 $\mathrm{Fun}(\mathbf{C}, \mathbf{D})$ も自然な方法で前加法圏となります。さらに、$\mathbf{C}$ 自身も前加法圏である場合には、加法的関手と自然変換からなる圏 $\mathrm{Add}(\mathbf{C}, \mathbf{D})$ も前加法圏となります。

特に重要な例として、前加法圏 $\mathbf{C}$ に対し、加法的関手圏 $\mathrm{Mod}(\mathbf{C}) := \mathrm{Add}(\mathbf{C}, \mathbf{Ab})$ は「$\mathbf{C}$ 上の加群圏」と呼ばれます。$\mathbf{C}$ が環 $R$ に対応する1対象の前加法圏である場合、これは通常の（左）$R$-加群の圏と一致します。このように、加群に関する多くの概念も、前加法圏の枠組みで一般化されます。

双積（そうせき、Biproduct）

前加法圏においては、任意の有限個の対象に対する積が存在すれば、対応する余積も存在し、しかも両者は一致します。この一致した構造を「双積」と呼びます。有限個の対象 $A_1, \dots, A_n$ の双積である対象 $B$ は、射影 $p_j: B \to A_j$ と入射 $i_j: A_j \to B$ の組によって特徴付けられます。これらの射は、特定の条件を満たします。例えば、入射 $i_j$ と射影 $p_k$ の合成 $p_k \circ i_j$ は、$j=k$ ならば $A_j$ の恒等射、$j
e k$ ならば $A_j$ から $A_k$ へのゼロ射となります。また、$\sum_{j=1}^n i_j \circ p_j$ という形の射の和が、双積対象 $B$ の恒等射と一致します。

双積はしばしば直和を表す記号 $\oplus$ を用いて $A_1 \oplus \dots \oplus A_n$ と書かれます。これは、よく知られた前加法圏である可換群の圏 $\mathbf{Ab}$ における双積が直和であることに由来します。ただし、無限直和が意味を持つ圏がある一方で、無限双積は一般の前加法圏では意味を持ちません。

特に、$n=0$（ゼロ個の対象）の場合を考えると、双積条件は単純になります。対象 $B$ がゼロ個の対象の双積であるのは、その自己準同型環 $\mathrm{Hom}(B, B)$ が自明な環（ゼロ環）であること、すなわち $B$ の恒等射がゼロ射であることと同値です。ゼロ個の双積は、積としての終対象かつ余積としての余終対象であるため、「ゼロ対象」と呼ばれます。$\mathbf{Ab}$ におけるゼロ対象はゼロ群であり、「ゼロ対象」という用語はこのような前加法圏の研究に起源を持ちます。

全ての有限双積（ゼロ対象を含む）を持つ前加法圏は、「加法圏」と呼ばれます。双積の概念は、特にこの加法圏の文脈でさらに重要な役割を果たします。

核と余核

前加法圏のホム集合にはゼロ射が存在するため、圏論における核（Kernel）と余核（Cokernel）の概念が意味を持ちます。射 $f: A \to B$ に対して、$f$ の核は $f$ と $A$ から $B$ へのゼロ射 $0_{AB}$ のイコライザーとして定義されます。同様に、$f$ の余核は $f$ と $0_{AB}$ の余イコライザーとして定義されます。積と余積が双積として一致するのとは異なり、前加法圏においては、一般に射の核と余核は一致しません。

可換群の圏や環上の加群の圏に限定すれば、定義された核は通常の準同型の核（定義域の部分対象）と一致します。しかし、一般の前加法圏においては、すべての射に対して核や余核が存在するとは限りません。

核や余核とホム集合の群構造の間には興味深い関係があります。平行な射 $f, g: A \to B$ が与えられたとき、$f$ と $g$ のイコライザーは、$g-f$ という射の核と一致します（どちらか一方が存在すれば）。このことから、二項イコライザーは「差核（Difference Kernel）」とも呼ばれます。同様の関係が余イコライザーについても成り立ちます。

全ての有限双積に加え、全ての射に対して核と余核が存在するような前加法圏は「前アーベル圏」と呼ばれます。核と余核の概念は、特にこの前アーベル圏の文脈でその重要性を発揮し、さらに多くの性質が明らかになります。

特殊なケース

前加法圏の概念は、いくつかのより具体的な圏のクラスを包含しています。以下にその主なものを挙げます。

環 (Ring): 単位元を持つ任意の環は、ただ一つの対象を持つ前加法圏と見なすことができます。
加法圏 (Additive Category): 全ての有限双積（特にゼロ対象）を持つ前加法圏を加法圏と呼びます。
前アーベル圏 (Preabelian Category): 全ての射が核と余核を持ち、かつ加法圏であるものを前アーベル圏と呼びます。
アーベル圏 (Abelian Category): 前アーベル圏のうち、全てのモノ射（単射のようなもの）が正規射（ある射の核となっている射）であり、かつ全てのエピ射（全射のようなもの）が正規射であるものをアーベル圏と呼びます。

数学の研究において実際に遭遇する前加法圏の多くは、実際にはより強い構造を持つアーベル圏であることが多いです。例えば、可換群の圏 $\mathbf{Ab}$ はアーベル圏です。アーベル圏はホモロジー代数などの分野で中心的な役割を果たします。

参考文献

Nicolae Popescu; 1973; Abelian Categories with Applications to Rings and Modules; Academic Press, Inc.; out of print
* Mac Lane, Saunders (1998), Categories for the Working Mathematician (2nd ed.). New York: Springer-Verlag. 日本語訳: 三好博之、高木理『圏論の基礎』シュプリンガーフェアラーク東京、2005年。ISBN 978-4431708728。

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