負の二項分布

負の二項分布

負の二項分布（ふのにこうぶんぷ、英: negative binomial distribution）は、確率論や統計学において重要な役割を果たす離散的な確率分布です。これは、独立して行われる一連の試行それぞれが、一定の確率 p で「成功」または確率 1-p で「失敗」という二つの結果のみをもたらす「ベルヌーイ試行」に関連しています。

この分布は、特定の成功回数 r を達成するまで試行を繰り返す場合に、その過程で発生する失敗の回数 k がどのような確率で起こるかを表すものです。しばしば混同される二項分布が「試行回数が固定されている中で成功が何回起こるか」を記述するのに対し、負の二項分布は「成功回数が固定されている中で試行が何回（または失敗が何回）必要か」という問いに答える分布と言えます。

例えば、コイントスで考えてみましょう。コインを5回投げたときに表が出る回数は二項分布に従いますが、表が5回出るまでコインを投げ続けたときに裏が出る回数は、負の二項分布に従う例です。

複数の意味

負の二項分布という用語は、文脈によっていくつかの異なる定義を指すことがあります。主なものは以下の通りです。

• - 統計的に独立なベルヌーイ試行を繰り返し行う中で、r回目の成功を得るまでに生じた失敗の回数 k の分布。
• - r回目の成功を得るまでに要した総試行回数（成功と失敗の合計、すなわち k + r）の分布。
• - さらに数学的な拡張として、成功回数 r を必ずしも正の整数に限定せず、正の実数とした場合の定義。

本記事では、最も一般的に用いられる最初の定義、すなわち「r回目の成功までに失敗した試行回数」に焦点を当てて解説します。

パラメータ

この分布は、2つの重要なパラメータによって特徴づけられます。

• - r: 目的とする成功の回数を表す定数です。通常は正の整数（1, 2, 3, ...）を取りますが、より広範な数学的文脈では正の実数値をとる場合もあります。
• - p: 各独立な試行における成功確率です。0から1までの実数（0 < p < 1）です。

特に r = 1 の場合、これは幾何分布として知られる分布と一致します。幾何分布は「初めて成功するまでに必要な失敗回数」または「初めて成功するまでに必要な総試行回数」の分布を表します。

性質

ここでは、「r回目の成功までに失敗した試行回数 k」の分布としての負の二項分布の性質について述べます。

確率質量関数

r回目の成功までにちょうど k回の失敗が発生する確率は、確率質量関数 $f(k; r, p)$ によって与えられます。ここで $k$ は非負の整数 ($0, 1, 2, ...$) です。

$$
f(k; r, p) = \binom{k+r-1}{k} p^r (1-p)^k
$$

この式は、最初の $k+r-1$ 回の試行で $r-1$ 回成功し、$k$ 回失敗し、かつ $(k+r)$ 回目の試行で $r$ 回目の成功が起こる確率を計算したものです。$\binom{k+r-1}{k}$ は、最初の $k+r-1$ 回の試行の中で $k$ 回の失敗（または $r-1$ 回の成功）が起こる組み合わせの数を表します。

累積分布関数

r回目の成功までに発生する失敗の回数が k回以下である確率は、累積分布関数 $F(k; r, p)$ によって計算されます。これは、総試行回数が $k+r$ 回以下である中で、成功回数が少なくとも r回である確率と等価であり、二項分布の累積分布関数を用いて表現することも可能です。

$$
F(k; r, p) = I_p(r, k+1)
$$

ここで $I_p(a, b)$ は正規化された不完全ベータ関数です。これは、二項分布 $B(n, p)$ の累積分布関数 $P(X \leq k)$ が $I_{1-p}(n-k, k+1)$ または $I_p(k+1, n-k)$ と関連することを利用しています。

期待値

この分布の平均値（期待値）$E[X]$ は、以下の式で与えられます。

$$
E[X] = \frac{r(1-p)}{p}
$$

これは、成功確率 p の試行で r 回成功するために、平均していくらの失敗が予想されるかを示します。

分散

この分布のばらつき（分散）$Var[X]$ は、以下の式で与えられます。

$$
Var[X] = \frac{r(1-p)}{p^2}
$$

期待値と同様に、成功回数 r が増えるか、または成功確率 p が小さくなるにつれて、失敗回数のばらつきも大きくなる傾向があります。

関連項目

• - ベルヌーイ過程

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