超幾何関数

超幾何関数

超幾何関数は、以下の超幾何級数によって定義される特殊関数です。この関数は、C.F.ガウスによって詳細に研究された歴史的背景から、彼の名前が冠されることもあります。


F(a, b; c; z) := ₂F₁[a, b; c; z] = Σ[n=0 to ∞] ((a)n (b)n) / ((c)n n!) zⁿ


ここで、(x)nはポッホハマー記号で表される昇冪であり、(x)₀ = 1、(x)n = x(x+1)(x+2)...(x+n-1)と定義されます。

概要

超幾何関数は、多くの初等関数や特殊関数を包含する、非常に汎用性の高い関数です。以下に、いくつかの例を示します。

対数関数:


log(1+z) = z ⋅ ₂F₁[1, 1; 2; -z]
log((1+z)/(1-z)) = 2z ⋅ ₂F₁[1/2, 1; 3/2; z²]

逆三角関数:


sin⁻¹z = z ⋅ ₂F₁[1/2, 1/2; 3/2; z²]
tan⁻¹z = z ⋅ ₂F₁[1/2, 1; 3/2; -z²]

完全楕円積分:


K(k) = (π/2) ⋅ ₂F₁[1/2, 1/2; 1; k²]
E(k) = (π/2) ⋅ ₂F₁[1/2, -1/2; 1; k²]

オイラー積分表示

ガウスの超幾何関数は、オイラー積分を用いて表現することも可能です。


F(a, b; c; z) = (Γ(c) / (Γ(a)Γ(c-a))) ∫[0 to 1] t^(a-1) (1-t)^(c-a-1) (1-tz)^(-b) dt


ただし、0 < Re(a) < Re(c), |z| < 1を満たす必要があります。この積分表示は、以下の手順で導出されます。

1. 超幾何級数をガンマ関数とポッホハマー記号で表現する。
2. ポッホハマー記号をガンマ関数で展開する。
3. ベータ関数の定義を適用する。
4. 積分と級数の順序を交換する。
5. 二項定理を適用する。

超幾何定理

z = 1を代入すると、ガウスの超幾何定理が得られます。


F(a, b; c; 1) = Γ(c)Γ(c-a-b) / (Γ(c-a)Γ(c-b))


ただし、Re(a) + Re(b) < Re(c), c ∉ Z \ Nを満たす必要があります。さらに、a = -nを代入すると、ヴァンデルモンドの恒等式が得られます。


F(-n, b; c; 1) = (c-b)n / (c)n

超幾何微分方程式

超幾何関数は、以下の超幾何微分方程式の解となります。


z(1-z) d²w/dz² + [c - (a+b+1)z] dw/dz - abw = 0


この微分方程式は、数学および物理学の多くの問題に現れ、超幾何関数がこれらの問題を解決するための重要なツールとなります。

参考文献

西本敏彦『超幾何・合流型超幾何微分方程式』共立出版、1998年。ISBN 978-4-320-01593-7。
福原満洲雄『常微分方程式』（第2版）岩波書店、1980年。ISBN 978-4-00-021234-2。
齋藤利弥：「常微分方程式論」、朝倉書店（近代数学講座5）（1967年8月25日)
坂井秀隆：「常微分方程式」、東京大学出版会、ISBN 978-4-13-062960-7（2015年8月24日)
青本和彦、喜多通武：「超幾何関数論」、シュプリンガー・フェアラーク東京、ISBN 4-431-70662-3 (1994年8月23日).
原岡喜重：「超幾何関数」、朝倉書店、ISBN 978-4-254-11557-4 (2002年10月25日).

関連項目

一般化された超幾何関数
合流型超幾何関数

外部リンク

超幾何級数の定義と例 - 高校数学の美しい物語
* Hypergeometric Function - Wolfram MathWorld

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