関数一覧

数学における関数の分類

数学の世界には多くの種別の関数が存在し、それぞれ特有の性質や名前があります。この記事では、初等関数、特殊関数、そしてその他の分類に基づいて、代表的な関数を詳しく解説します。

初等関数

初等関数とは、一般に計算可能であるとみなされる関数のことを指し、ジョゼフ・リウヴィルによって定義されました。初等関数は、段階的に構成され、次のように分類されます。

• - 第0級初等関数: 多項式は確定した元のべきに従った形式を持つ関数であり、通常「多項式関数」として知られています。多項式の次数によって、一次関数、二次関数、三次関数と呼ばれます。
• - 第1級初等関数: 指数関数（$e^z$）や対数関数（$ ext{log}(z)$）が含まれ、これらは互いに補完的な性質を持つ重要な関数です。
• - 高次の初等関数: 幾つかの低次関数の合成によって得られる関数で、一般に第$n$級と呼ばれます。

多項式関数

多項式関数は数の組み合わせからなる関数で、不定元への代入によって定義されます。これにより様々な次数の関数が得られ、特に一次関数、二次関数などと呼ばれます。

有理関数

有理関数は、2つの多項式の商として定義されています。これにより、分数的な性質を持つ関数が形成されます。

指数関数と対数関数

指数関数は、定数の冪乗として表され、自然対数の底$e$の冪やその他の数をよく扱います。その逆関数である対数関数は、指数方程式を扱うための重要なツールです。

三角関数

三角関数は、幾何学的な現象や周期的な動きを表現するために使用され、正弦関数(sin)、余弦関数(cos)、および正接関数(tan)などが含まれます。

双曲線関数と逆双曲線関数

双曲正弦関数(sinh)や双曲余弦関数(cosh)など、三角関数と似た性質を持つ関数も存在します。これらの関数の逆もまた重要です。

グーデルマン関数

これは双曲線関数と逆三角関数を組み合わせて形成される関数であり、興味深い特性を示します。

整数論的関数

整数論では特に重要な役割を持つ関数の集合ですが、その具体的な分類は、研究や分野によって異なります。

その他の特殊関数

数学の中で独自の名前を持つ関数も多数存在しますが、名称が与えられない関数や他の分類に収まらないものに関しては、特殊関数としてまとめられています。

超関数

特にディラックのデルタ関数は、非標準的な性質を持つ関数として知られています。この関数は通常の関数とは異なり、確率分布の一種として用いられます。

結論

関数は数学的な考察において非常に重要な役割を果たし、様々な数学的現象を記述・解析するための基本的な道具です。初等関数から特殊関数に至るまで、これらの関数の理解は、数学を学ぶ上で欠かせない知識です。

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