超過剰数

超過剰数について

超過剰数（ちょうかじょうすう、英: superabundant number）とは、特定の条件を満たす自然数のことを指します。具体的には、ある自然数 n において、全ての自然数 m で m < n の時に次の不等式が成り立つことです。

\[ \frac{\sigma(m)}{m} < \frac{\sigma(n)}{n} \]

ここで、σ は m の約数の和を計算する関数です。この条件を満たす自然数の例として、12 が挙げられます。12 に対して計算すると、次のようになります。

\[ \frac{\sigma(12)}{12} = \frac{1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 12}{12} = \frac{7}{3} \]

このようにして、11 以下の m に対し、σ(m)/m > 7/3 を満たす数は存在しないため、12 は超過剰数となります。

特徴

超過剰数は無限に存在し、最小の超過剰数は1です。この超過剰数を小さい順に並べると、次のような数列が得られます：1, 2, 4, 6, 12, ...

ただし、超過剰数の中で 1, 2, 4 は不足数、6 は完全数で、12 以上の超過剰数は全て過剰数とされています。また、超過剰数は高度合成数と密接に関連しています。興味深いことに、最初の19個の超過剰数と高度合成数は同じであるものの、すべての超過剰数が高度合成数であることはありません。

例えば、7560 は超過剰数でない最小の高度合成数ですが、1163962800 は超過剰数でない最小の高度合成数です。

性質

数学者ポール・エルデシュとレオニダス・アラオグルは、自然数 n が超過剰数である場合、次の条件を満たすことを証明しました。

\[ ap = 1 \]

この条件は、n が 4 と 36 のときを除き成り立ちます。したがって、超過剰数のうち平方数として存在するのは 4 と 36 のみです。

拡張

さらに、一般化された k 次の超過剰数（英: generalized k-super abundant number）という概念もあります。これは、m < n である全ての自然数 m に対し、以下の不等式が成立する自然数 n を指します。

\[ \frac{\sigma_k(m)}{m^k} < \frac{\sigma_k(n)}{n^k} \]

ここで、σ_k(n) は n の全ての約数の k 乗の総和を表します。この場合、一般化された1次の超過剰数は通常の超過剰数に当たります。また、0次の超過剰数は高度合成数です。

例

例えば、2次の超過剰数として次のような数が挙げられます：1, 2, 4, 6, 12, 24, 48, 60, 120, 240, 360, 720, 840, 1680, 2520, 5040, 10080, 15120, 25200, 27720, 55440, 110880, 166320, 277200, 332640, 360360, 720720, ...

(この数列はオンライン整数列大辞典で確認することができます。)

関連項目

• - 過剰数
• - 高度合成数
• - 巨大過剰数

外部リンク

• - Superabundant number, MathWorld

超過剰数は、数論において非常に興味深い性質を持つ数のクラスで、数学者たちによって多くの研究が行われています。

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