軌道角運動量

軌道角[[運動量]]：量子力学における回転と波の自由度

はじめに

軌道角[[運動量]]とは、量子力学において、粒子の位置と運動量の積によって定義される角[[運動量]]の一種です。古典力学における角[[運動量]]の概念を量子力学へと拡張したものであり、空間を伝播する波の自由度を表す重要な物理量です。原子中の電子の運動を記述する際に頻繁に登場しますが、電子が原子核の周りを惑星のように公転するという古典的な描像は、現代の量子力学では不正確であることに注意が必要です。

定義と演算子

軌道角[[運動量]]演算子 L は、位置演算子 x = (x, y, z) と運動量演算子 p = (-iħ∂/∂x, -iħ∂/∂y, -iħ∂/∂z) を用いて以下のように定義されます。

L = x × p = (-iħ(y∂/∂z - z∂/∂y), -iħ(z∂/∂x - x∂/∂z), -iħ(x∂/∂y - y∂/∂x))

この定義は、古典力学における角[[運動量]]の定義を量子力学的な演算子へと置き換えることで得られます。ここで、ħは換算プランク定数、iは虚数単位です。

より一般的には、任意の単位ベクトル n = (n₁, n₂, n₃) に対して、軌道角[[運動量]]演算子 L_n は、L_n = n ⋅ L と定義されます。これは、n を回転軸とする軌道角[[運動量]]を表します。

性質と交換関係

軌道角[[運動量]]演算子は、以下の重要な交換関係を満たします。ここで、ε_ijk はエディントンのイプシロンです。

[L_i, x_j] = iħε_ijkx_k
[L_i, p_j] = iħε_ijkp_k
[L_i, L_j] = iħε_ijkL_k

特に、最後の関係式は「角[[運動量]]代数」として知られています。この交換関係は、軌道角[[運動量]]の成分同士が互いに可換ではないことを示しており、それらが同時に正確に測定できないことを意味しています。

極座標表示

球面座標 (r, θ, φ) を用いると、軌道角[[運動量]]演算子はより簡潔に表現できます。

L_x = iħ(sinφ∂/∂θ + cotθcosφ∂/∂φ)
L_y = iħ(-cosφ∂/∂θ + cotθsinφ∂/∂φ)
L_z = -iħ∂/∂φ

また、軌道角[[運動量]]の二乗 L² も重要な物理量であり、極座標表示では以下のように表されます。

L² = -ħ²(1/sinθ ∂/∂θ(sinθ∂/∂θ) + 1/sin²θ ∂²/∂φ²)

L² はラプラシアン Δ と密接な関係があり、球面成分 Δ_S = -1/ħ²L² の形で現れます。

回転対称性

軌道角[[運動量]]は系の回転対称性と深く関わっています。系の回転は波動関数にユニタリ変換として作用し、この変換と軌道角[[運動量]]演算子は密接に関連しています。具体的な関係は、回転行列 R と波動関数 ψ に対して、以下のように表されます。

L_n(ψ) = iħ d/ds λ(R_n(s))(ψ)|_s=0

ここで、R_n(s) は n を軸として s ラジアン回転する行列、λ(R) は R による波動関数の回転を表します。この関係式は、軌道角[[運動量]]演算子が波動関数の回転を生成することを示しています。この関係から、軌道角[[運動量]]の交換関係が導出できます。

球面調和関数

軌道角[[運動量]]演算子の固有関数は球面調和関数 Y_ℓ,m(θ, φ) で与えられます。球面調和関数は、数学と物理学で異なる定義が用いられることがありますが、本質的には同じ関数です。物理学における球面調和関数は、角[[運動量]]の二乗 L² と z 成分 L_z の固有関数であり、量子数 ℓ と m で特徴付けられます。

ℓ は軌道角[[運動量]]量子数 (方位量子数)、m は軌道磁気量子数と呼ばれ、ℓ = 0, 1, 2, ...、m = -ℓ, -ℓ+1, ..., ℓ-1, ℓ の値を取ります。

昇降演算子

昇降演算子 L₊ = L_x + iL_y と L_- = L_x - iL_y は、球面調和関数の間の変換を簡潔に表現するために用いられます。これらは、磁気量子数 m を ±1 だけ変化させます。

工学的応用

電磁波、特に光は軌道角[[運動量]]を持つことが知られています。この性質を利用した軌道角[[運動量]]多重通信技術は、同一周波数、同一方向からの送信でも混信を避けることができる可能性があり、今後の無線通信や光ファイバー通信への応用が期待されています。

まとめ

軌道角[[運動量]]は量子力学において重要な役割を果たす物理量であり、原子構造、電磁波の性質、そして今後の通信技術の発展など、幅広い分野で応用されています。その定義、性質、数学的表現を理解することは、量子力学の理解を深める上で不可欠です。

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