速度ポテンシャル

速度ポテンシャル：渦なし流れの解析ツール

流体力学において、速度ポテンシャルは渦なし流れを解析するための重要な概念です。速度ポテンシャルを用いて記述できる流れをポテンシャル流と呼びます。本記事では、速度ポテンシャルの定義、性質、そしてその応用について解説します。

速度ポテンシャルの定義

速度ポテンシャルΦは、流体の速度ベクトルu を勾配として表すスカラー場として定義されます。数式で表すと以下のようになります。

u = grad Φ

ここで、gradは勾配演算子です。この定義から、速度ポテンシャルが存在するためには、流れが渦なしである必要があります。つまり、流体の回転（渦度）がゼロであるという条件、rot u = ∇ × u = 0 を満たす必要があります。これは、勾配の回転が常にゼロであるというベクトル解析の性質（rot(gradΦ) = 0）によるものです。

重要な点として、速度ポテンシャルの定義には負号が含まれません。これは一般的なポテンシャルの定義とは異なる点です。

速度ポテンシャルの性質

速度ポテンシャルの性質は、流体の領域の形状に依存します。

単連結領域: 流体の領域が単連結である場合、速度ポテンシャルΦは一価関数となります。つまり、領域内の各点に対して、速度ポテンシャルの値は一意に定まります。
多重連結領域: 流体の領域が多重連結である場合、速度ポテンシャルΦは多価関数となります。これは、領域内に穴が存在するために、異なる経路で同じ点に到達した場合、速度ポテンシャルの値が異なる可能性があるためです。

さらに、速度ベクトルuと流線は速度ポテンシャルΦの等値面（等ポテンシャル面）に直交するという重要な性質があります。また、速度ポテンシャルの法線方向n の微分は、速度の法線方向成分u_nを与えます。

∂Φ/∂n = n・gradΦ = n・u = u_n

ここで、nは単位法線ベクトルです。

非圧縮性流体への適用

非圧縮性流体の渦なし流れにおいては、速度ポテンシャルΦはラプラス方程式を満たす調和関数となります。ラプラス方程式は、流体力学における様々な問題を解く上で重要な役割を果たします。

まとめ

速度ポテンシャルは、渦なし流れを解析するための強力なツールです。その定義、性質、および非圧縮性流体への適用を理解することで、流体力学における様々な問題をより効率的に解決することができます。速度ポテンシャルの概念は、航空力学、水力学、気象学など、様々な分野で応用されています。特に、翼周りの流れや船舶の抵抗計算など、複雑な流れ場を解析する際に有効です。

関連項目

* 複素速度ポテンシャル

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