連続信号

連続信号：時間とともに変化する値の表現

連続信号とは、時間などの連続的な変数によって変化する信号のことです。数学的には、実数値の変数（多くの場合、時間）を独立変数、信号の値を従属変数とする関数で表現されます。この関数は必ずしも連続とは限りません。

連続信号は、その定義域によって有限持続信号と無限持続信号に分類できます。有限持続信号は、定義域が有限区間である信号です。一方、無限持続信号は、定義域が無限区間である信号です。

例：正弦波

代表的な連続信号の例として、正弦波が挙げられます。無限持続の正弦波は、以下の式で表されます。

f(t) = sin(t), t ∈ ℝ

ここで、tは時間を表し、ℝは実数全体の集合を表します。この信号は、時間軸全体で定義されています。

有限持続の正弦波は、定義域を特定の区間（例えば、[-π, π]）に限定することで表現できます。区間外では信号の値は0となります。

f(t) = sin(t), t ∈ [-π, π]
f(t) = 0, その他

特異点を持つ信号

連続信号の値は必ずしも有限とは限りません。例えば、以下の関数はt=0で無限大となります。

f(t) = 1/t, t ∈ [0, 1]
f(t) = 0, その他

しかし、多くの応用分野では、連続信号は有限の値を持つと仮定されます。特に物理現象を扱う場合、無限大の値は現実的ではありません。それでも、特定の条件下では、無限大の特異点を許容する場合もあります。例えば、ある有限区間で積分可能な場合などです。t⁻¹は積分不可能ですが、t⁻²は積分可能です。

アナログ信号とデジタル信号

アナログ信号は一般的に連続信号です。これは、信号の値が連続的に変化することを意味します。デジタル信号処理では、アナログ信号をまず標本化（サンプリング）して離散信号に変換し、次に量子化してデジタル信号に変換します。デジタル信号は離散的かつ有限の値を持つため、コンピュータで処理できます。

多次元連続信号

連続信号は、時間以外の独立変数についても定義できます。例えば、画像処理では、画像の画素値を2次元空間上の関数として表すことで、連続信号を扱います。この場合、独立変数は画像のx座標とy座標になります。

まとめ

連続信号は、様々な分野で重要な役割を果たしています。その特性を理解することは、信号処理や通信、画像処理など、多くの技術分野において不可欠です。特に、連続信号とデジタル信号の関係性を理解することで、アナログ信号をデジタル信号に変換し処理する技術の基礎を築くことができます。また、数学的な表現方法を理解することで、より高度な信号処理技術を習得できます。

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