連続確率分布

連続確率分布について

連続確率分布（れんぞくかくりつぶんぷ）または連続型確率分布は、確率論において累積分布関数が連続である分布を指します。この分布は、確率変数が連続型である場合にのみ適用されます。特に、確率変数 X が特定の値 a を取る確率 P(X = a) は常に 0 であるという特徴があります。

確率密度関数と区間に対する確率

連続確率分布の重要なポイントは、単独の値に対する確率がゼロでも、区間に対する確率は存在するということです。例えば、サイコロの目が3.5になる確率は0ですが、連続確率変数においては測定値がどのような値にも無限に多数の選択肢が存在し、特定の値を取る確率は依然として0です。ただし、ある範囲内の値を考えると、例えば P(3 ≦ X ≦ 4) のように、特定の区間における確率は計算できます。

この場合、確率を得るためには確率密度関数を用いて定積分を計算します。例としては、次のように表せます：

$$
\int_{3}^{4} f(x) \, dx = 0.1
$$

また、累積分布関数を用いることもできます。具体的には P(3 ≦ X ≦ 4) は F(4) - F(3) として扱われます。

絶対連続分布と広義連続分布

倒すと、連続確率分布には「絶対連続分布」と「広義連続分布」という2つのカテゴリが存在します。絶対連続分布は、累積分布関数が「ルベーグ測度に対して絶対連続」とされるもので、その関数は確率密度関数を持っています。これに対し、広義連続分布は必ずしも確率密度関数を持たず、退化分布がその例です。退化分布では特定の値に対する確率が正の値をとることもあります。

また、絶対連続分布は全ての実数 a に対して P(X = a) = 0 という特性を有しつつも、必ずしも絶対連続である必要はありません。例えば、カントール分布は連続であるが絶対連続性を欠く一例です。すなわち、累積分布関数が連続であるからといって、必ずしも絶対連続とは限りません。

実際の応用と事例

実際の統計的応用においては、確率変数はしばしば離散型や絶対連続型、さらにはその混合を含む場合があります。普遍的な例としては、正規分布、連続一様分布、ベータ分布、ガンマ分布が挙げられます。特に正規分布は中心極限定理に基づき、多くの自然現象や統計データに現れるため、広く利用されています。多くの小さな独立変数の和としてモデル化される事象は、概ね正規分布として記述可能です。

参考文献

これらの概念について更に学ぶためには、数学や確率論の教科書やオンライン資料を参照すると良いでしょう。また、確率変数に関する詳細な課題に取り組むことで、理解を深めることができます。

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