遷移モーメント

遷移モーメントについて

遷移モーメントは、光や電磁波によって電子が異なるエネルギー状態へ遷移する際に関与する演算子のことを指します。この現象を理解するためには、遷移確率という重要な概念が必要です。特に、量子系の始状態と終状態における遷移確率は、フェルミの黄金率を用いて以下のように表現されます。

遷移確率の算出

相互作用による遷移確率は次の式で表されます。
$$ T_{i
ightarrow f} = rac{2 ext{π}}{ ext{ℏ}} | ext{⟨}f|{ ext{H'}}|i ext{⟩}|^{2} \rho $$
ここで、

• - `T_{i

ightarrow f}` は始状態 i から終状態 f への遷移確率です。

• - `\rho` はエネルギーごとの状態密度を表し、エネルギーの単位あたりに存在する状態の数を示します。
• - `\text{⟨}f|{ ext{H'}}|i ext{⟩}` は、遷移を引き起こす演算子の行列要素で、これが遷移モーメントに相当します。

このように、遷移モーメントがゼロでない場合、確率的に遷移が起こる可能性があります。

光と電子の相互作用

次に、電子が光の中でどのように振る舞うかに注目します。フェルミの黄金率は、光（電磁波）による相互作用にも適用できます。
電磁場中の電子の相互作用は次のように示されます。
$$ ext{H}' = rac{e}{2m}igg( ext{p}' ullet ext{A}' + ext{A}' ullet ext{p}' + rac{e^2}{2m} ext{A}^2 igg) $$
ここで、

• - `\text{p}'` は電子の運動量を表し、
• - `\text{A}'` は電磁場のベクトルポテンシャルを示します。

この時、電子のサイズが光の波長と比べて非常に小さい場合、相互作用をいくつかの項に分けることが可能です。これには、電気双極子項、磁気双極子項、電気四極子項などが含まれます。それぞれの項は、次の式で示されます。
$$ ext{H}' = ext{P}' + ext{L}' + ext{Σ}_{x_i y_i}' + ext{...} $$
このような相互作用の項のいずれかが活動するかどうかは、それに対応する演算子の行列要素がゼロでないかどうかで判断できます。

禁制遷移と遷移の可能性

一般的に、電気双極子演算子の行列要素が遷移確率の主要な寄与を担っていますが、場合によっては遷移が禁制されることもあります。特に、遷移に必要な行列要素が常にゼロになるような始状態と終状態の組み合わせを「禁制遷移」と呼びます。このような場合、遷移確率は極めて小さな値に抑えられます。しかし、他の項、例えば磁気双極子項や電気四極子項の行列要素がゼロでない限り、遷移が起こることも十分に考えられます。

参考文献

この内容に関しては、以下の文献を参考にしました。

• - 小出昭一郎 『量子力学(II) （改訂版）』 裳華房〈基礎物理学選書〉、1990年。 ISBN 4-7853-2133-4。

関連項目

• - 遷移双極子モーメント
• - フェルミの黄金律

このように、遷移モーメントは量子力学の重要な要素であり、電子と光の相互作用を理解する上で欠かせない概念です。

もう一度検索