遺伝環

遺伝環と半遺伝環の概要

数学の抽象代数学の一分野である加群論において、環 R に関しての重要な概念が「遺伝環」と「半遺伝環」です。遺伝環は、R 上のすべての射影加群の部分加群が再び射影加群であると定義されています。これに対し、半遺伝環はこの条件が「有限生成部分加群」に限定された場合を指します。

右および左の区別

特に非可換環 R においては、左右の区別が必要です。すなわち、以下の用語が使用されます。

• - 左遺伝的
• - 左半遺伝的
• - 右遺伝的
• - 右半遺伝的

左遺伝的であるためには、すべての射影左 R-加群がその部分加群も射影的でなければなりません。右についても同様に定義されます。ここで特筆すべきは、ある環が左遺伝的であっても右遺伝的でない、あるいはその逆も可能であるという点です。

同値な定義

環 R の左（半）遺伝的性質に関して、以下のような同値な定義が存在します。

• - 環 R が左（半）遺伝的であることは、R のすべての（有限生成）左イデアルが射影加群であることと同等です。
• - また、環 R が左遺伝的であれば、すべての左加群が「長さ 1」の射影分解を持つことも同値です。これにより、通常の導来関手、たとえば ExtiR や TorRi が i > 1 の場合には自明となることが示されます。

遺伝環および半遺伝環の例

遺伝環や半遺伝環の典型的な例として、半単純環があります。この環は、左および右のすべてのイデアルが R の直和成分で構成されているため、容易に遺伝的であることが分かります。また、フォン・ノイマン正則環も同様に、すべての有限生成なイデアルが直和成分で構成されるため、左右ともに半遺伝的です。

非可換整域の例

非可換整域 R の任意の非零元 x に対して、写像 r ↦ x r により R ≅ x R となります。このため、非可換整域では単項右イデアルは常に自由であるため射影的です。特に、右のできる系について考えると、R が右ベズー整域であれば、有限生成右イデアルは単項イデアルですから、すべての有限生成右イデアルが射影的であることが分かります。したがって、その場合 R は右半遺伝環となります。追加情報として、R が単項右イデアル整域である場合、すべての右イデアルが射影的であることから、R は右遺伝的となります。

可換遺伝整域

可換遺伝整域は「デデキント整域」として知られています。一方で、可換半遺伝整域は「プリューファー整域」と呼ばれ、これらの関係性も数学の理解を深める上で重要です。

箙の道代数とその重要性

左遺伝環の重要な例として、箙の道代数が挙げられます。これは、道代数上の加群が長さ 1 の標準分解を持つことに由来しています。

性質

自由左 R-加群に対し、そのすべての部分加群は R の左イデアルの直和に同型であり、したがって射影的です。この点は、遺伝環や半遺伝環の特性を理解する上で重要な要素となります。

このように、遺伝環および半遺伝環の概念は、環論の中で中心的な役割を果たしており、その特性は加群の理解と密接に関連しています。

もう一度検索