射影加群

射影加群の概念

射影加群（しゃえいかぐん、英: projective module）は、ホモロジー代数学における基本的な概念の一つです。射影加群は、特定の関手が完全であるような加群を指します。この概念は、1956年にCartanとEilenbergによって導入されました。そのため、射影加群は自由加群の一般化として位置付けられています。

射影加群の定義

加群Pが射影加群とされるためには、次のような条件が成り立つ必要があります。まず、任意の短完全列に対して、関手Hom(P, -) が完全である必要があります。具体的には、0から始まる短完全列0 → N → M → K → 0に対して、対応する関手による完全列も短完全列となる必要があります。これは、以下のように表されます：

```
0 → Hom(P, N) → Hom(P, M) → Hom(P, K) → 0
```

この完全性の条件を満たす加群Pが射影加群です。

その他の条件

加群Pが射影的であるための他の条件としては、以下のようなものがあります：
1. Pがある自由加群の直和因子として同型である場合。
2. 任意の全射N → Mに対して、Hom(P, N) → Hom(P, M)も全射である場合。
3. 任意の加群Mに対して、Ext(P, M) = 0となる場合。
4. 任意の加群Mと正の整数nに対して、Ext^n(P, M) = 0が成り立つ場合。
5. 任意の全射f: N → Mと射g: P → Mに対して、f・h = gとなる射h: P → Nが存在する場合。これらの条件のうち、いずれか一つが満たされることでPは射影加群とされます。

一般的なアーベル圏における射影的対象

より一般に、アーベル圏の対象Pが射影的とされるのは、関手Hom(A, -) が完全なときです。これは射影加群の一般的な概念に発展しています。

射影加群の性質

射影加群は、環Rの性質によって異なる行動を示します。特に、もし環Rが半単純であれば、すべての左R加群は射影的です。また、特定の条件下で成り立つ性質があります。たとえば、可換局所環上の有限生成射影加群は自由加群に同型であることが知られています。さらに、体係数多項式環上の有限生成射影加群も自由加群となります。これはQuillen-Suslinの定理によって裏付けられています。

射影分解と射影次元

加群Mに対して、射影加群が含まれる完全列は「射影分解」と呼ばれます。特に、すべてのi ≥ 0に対して射影被覆が成り立つ場合は「極小射影分解」となります。このような分解は、任意の加群には自由分解が存在するため、射影分解も存在することが示されています。加群の射影次元は、その極小射影分解の長さを表し、射影次元が存在しない場合は∞とされます。特に、零加群の射影次元は−1となります。

まとめ

射影加群の概念は、ホモロジー代数学において中心的役割を果たします。射影加群の性質やその関連について理解することは、数学のさまざまな分野において重要です。このように、射影加群は加群の理解を深めるための基盤を提供しています。

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