重根 (多項式)

重根について

重根（じゅうこん）とは、1変数の多項式の根の中で、同じ値を持つものが2回以上現れることを指します。数学的に言えば、1変数多項式 $f(x)$ が式

$$
f(x) = a(x - eta_1)(x - eta_2) imes ext{...} imes (x - eta_n)
$$
に因数分解されたとき、$\beta_1, \beta_2, \ldots, \beta_n$ の中に重複する値が含まれている場合、その値が重根となります。

概要

重根は、方程式 $f(x) = 0$ の解の一部であり、座標平面上で考えると、曲線 $y = f(x)$ と x 軸の交点が重なっていることを意味します。このことから、重根の位置は曲線と x 軸の接点に該当します。具体的には、もし関数 $f(x)$ が $x = \alpha$ で x 軸に接するなら、$\alpha$ は重根とされます。その結果、$f(x)$ の微分も $f'(\alpha) = 0$ となります。よって、重根の定義は、$(\alpha) = f'(\alpha) = 0$ と同等であると言えます。

定義

任意の体 K 上の多項式 $f(x)$ および K の元 $eta$ に対して、次の関係が成立する場合

$$(x - \beta)^k \mid f(x)$$

が成り立つとき、$\beta$ は $f(x)$ の重根とされます。ここで $k$ は自然数であり、$g(x)$ という多項式を用いて次のように表せます：

$$f(x) = (x - \beta)^k g(x)$$

なお、$g(x)$ が根 $\beta$ を持たない場合、$k$ は $\beta$ の重複度（multiplicity）となります。

判別式について

多項式 $f(x)$ の重根を確認するための重要な道具に「判別式」があります。ここで判別式とは、多項式の根を用いて定義される値で、次のように表されます：

$$D_f := \prod_{1 \leq i < j \leq n} (\alpha_i - \alpha_j)^2$$

ここで、$\alpha_i$ は多項式の根です。この判別式が0である場合、代数方程式は重根を持つことが示されます。したがって、判別式はその多項式が重根を有しているかどうかを判断するために重要な役割を果たします。

例えば、二次方程式の場合、判別式は次のように表現することができ、根の性質を解析する際によく使用されます：

$$D = b^2 - 4ac$$

ここで、$a、b、c$ は方程式の係数です。判別式の値によって、解の形状が異なるため、数式を利用した解析が容易になります。

関連項目

重根は他の数学的概念と深い関わりがあり、零点や多項式の性質を知る上で大変重要です。数学の勉強において、この概念はとても基本的かつ多くの分野で応用されます。

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