量の次元

量の次元：単位系を超えた量の分類

様々な物理現象や社会現象を記述する際には、長さ、質量、時間といった基本的な量だけでなく、面積、体積、速度、加速度、力、エネルギーなど、多くの量が登場します。これらの量は、互いに複雑な関係で結ばれていますが、その関係性を簡潔に表現する方法として「量の次元」が用いられます。

量の次元の定義と表記

量の次元とは、ある量の大きさを基本量の組み合わせで表現したものです。例えば、面積は長さの2乗（長さ×長さ）、体積は長さの3乗（長さ×長さ×長さ）と表せます。国際標準化機構(ISO)や日本の産業標準(JIS)では、量Qの次元をdim Qや[Q]で表記します。重要な点は、次元は単位系に依存しないということです。メートル法やヤード・ポンド法といった単位系が変わっても、面積の次元は常に長さの2乗です。

量方程式と次元

量の間には、例えば「面積＝長さ×長さ」のような関係式（量方程式）が成立します。このとき、次元の関係も量方程式を反映します。つまり、[面積]＝[長さ]×[長さ]となります。一般的に、量Qが量q1、q2の積で表されるとき、[Q]＝[q1][q2]の関係が成り立ちます。

基本量と次元指数

複数の量からなる体系では、いくつかの量を基本量として選びます。例えば、力学では長さ、質量、時間を基本量として選ぶのが一般的です。他の量は、これらの基本量の積で表すことができます。例えば、速度は長さ/時間、加速度は長さ/時間の2乗、力は質量×長さ/時間の2乗といった具合です。

各基本量に対応する因子を[長さ]、[質量]、[時間]などと表し、それぞれの基本量の冪乗の積として、任意の量の次元を表すことができます。このときの冪乗を次元指数と呼びます。全ての次元指数が0である量は無次元量と呼ばれ、数値のみで表されます。角度や比などが無次元量です。

幾何学量の次元

平面図形の面積は、全て長さの2乗で表されます。長方形、三角形、円など、図形の種類によって係数は異なりますが、次元は同じです。同様に、体積は長さの3乗、角度は長さ/長さ（つまり無次元）となります。

物理量と次元

力学的な量だけでなく、様々な物理量の次元を考えることができます。

力のモーメント: 長さ×力
仕事: 長さ×力
圧力: 力/面積＝力/長さの2乗
ばね定数: 力/長さ
摩擦係数: 力/力（無次元）

このように、扱う量体系によって、基本量と次元は変わります。

社会科学における量の次元

物理量だけでなく、社会科学の量にも次元を適用できます。

来客数: 人数
売上: 金額
客単価: 売上/来客数＝金額/人数

国際量体系(ISQ)における次元

国際量体系(ISQ)では、7つの物理量が基本量として定義されています。それぞれの基本量には独立した次元が与えられ、次元記号も規定されています。ISQでは、粒子数や状態数は無次元量として扱われますが、アボガドロ定数を使って物質量に換算することができます。角度やレベルなども無次元量です。ただし、エントロピーだけは例外的に次元を持ちます。

基本量の選択と自然単位系

どの量を基本量として選ぶかは、ある程度の任意性があります。例えば、力学では長さ、質量、時間を基本量として選んでいますが、力やエネルギーを基本量として選ぶこともできます。特殊相対性理論や量子力学では、光速やプランク定数を1に固定する自然単位系が用いられることがあり、この場合、時間の次元は長さやエネルギーの次元と関連付けられます。

空間次元との関係

量の次元は空間の次元とも密接な関係があります。3次元空間では体積は長さの3乗ですが、一般にd次元空間では長さのd乗となります。面積、密度なども空間の次元によって次元が変わります。アインシュタインの重力定数や微細構造定数などは、空間の次元によって次元が変わります。

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