鎖状環

鎖状環についての考察

概要

数学の分野の一つである環論において、鎖状環（catenary ring）とは、特定の性質を持つ可換環のことを指します。この環の特徴は、その素イデアルが持つ階層性にあり、任意の2つの素イデアルの間には、同じ長さの増大する素イデアルの鎖が存在します。この特性から、鎖状環はさまざまな数学的議論の場面で重要な役割を果たします。

鎖状環の定義

具体的には、鎖状環Rでは、任意の素イデアルの組pとqが存在する場合、それに対応する真に増大する素イデアルの鎖が存在します。これを以下のように表現します。

```
p = p0 ⊊ p1 ⊊ ... ⊊ pn = q
```

このとき、nにあたる鎖の長さは有限であり、幾何学的に解釈すると、素イデアルに関わる代数多様体の次元は、素イデアルが大きくなるほど減少します。このため、鎖状環における次元の差は、環の構造を理解する上で重要な指標となります。

強鎖状環の概念

さらに進んだ概念として、強鎖状環（universally catenary ring）があります。これは、任意の有限生成な環が鎖状環であるような環を指します。この概念は、環のより強い条件を提示し、多くの数学的特性を導き出す助けとなります。「catenary」の語源は、ラテン語の「catena（鎖）」に由来します。

強鎖状環に関連する包含関係は以下の通りです。

```
強鎖状環 ⊃ コーエン・マコーレー環 ⊃ ゴレンシュタイン環 ⊃ 完全交叉環 ⊃ 正則局所環
```

次元公式

次に、特に重要な次元公式について説明します。整域Aの上に有限生成な整域Bを考え、Bの素イデアルPとAの共通部分であるpの素イデアルを分けて考えると、以下の関係が成立します。

```
height(P) ≤ height(p) + tr.deg._A(B) - tr.deg._κ(p)(κ(P))
```

この公式は、Aが強鎖状環である場合に等号が成り立ち、強鎖状環の次元公式として認識されています。ここで、κ(P)はPの剰余体であり、tr.deg.は超越次数を表しています。

具体例の紹介

代数幾何学の分野においては、ほとんどのネーター環は強鎖状であることが知られています。以下に、強鎖状環の具体例を示します。

• - 完備ネーター局所環
• - デデキント環
• - コーエン・マコーレー環
• - 正則局所環
• - 強鎖状を局所化した環
• - 鎖状であるが強鎖状でない環

強鎖状ではないネーター環の例を挙げることは難しいですが、永田雅宜によって発見された二次元のネーター局所整域がその一例として知られます。この環は、特定の条件下で鎖状でありながら、強鎖状ではないという特性を持っています。

還元と結果

永田の例には、形式的ベキ級数や特定の無限元体との関係が存在し、これらが整域の性質に与える影響についても考察される必要があります。加えて、鎖状環に関連する他の研究や文献を参照することで、より深い理解も得られるでしょう。これによって、数学者たちは環論の研究をさらに進めることができます。

参考文献

1. H. Matsumura, Commutative algebra 1980
2. Nagata, Masayoshi, “On the chain problem of prime ideals”, Nagoya Math. J. 10: 51–64
3. Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean, “Éléments de géométrie algébrique”

このように、鎖状環は単なる抽象概念にとどまらず、様々な数学的問題に対して明確な応用を持っています。

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