デデキント環

デデキント環についての詳細

デデキント環（Dedekind ring）またはデデキント整域と呼ばれる数学の概念は、特定の特性を持つ整域の一種です。デデキント環の定義は、任意の0でない真のイデアルが有限個の素イデアルの積として表現できることにあります。このような性質を持つ整域は、イデアル論において重要な役割を果たし、特にその分解は一意であることが知られています。この一意性は、「イデアル論の基礎定理」と呼ばれるものに基づいています。

定義の詳細

体でない整域 R があるとき、次の条件はすべて同じであることが示されています。これにより、デデキント環とされる整域の基準が明確になります。以下の条件が同値です：

1. R の任意の0でない真のイデアルは、有限個の素イデアルの積として表される。
2. R はネーター環で、Krull次元が1で、正規である。
3. R のすべての0でない分数イデアルは可逆である。
4. R はネーター環で、任意の極大イデアルにおける局所化が離散付値環（DVR）となる。

これらの条件が満たされる整域がデデキント環と呼ばれます。なお、体に関しては、デデキント環に含まれる場合と含まれない場合がある点も認識しておく必要があります。

具体例

デデキント環の代表的な例として、単項イデアル整域が挙げられます。また、有理数体 Q の有限次拡大体を K とした場合、K の整数環 OK（K における Z の整閉包）もデデキント環に該当します。

加群の構造

デデキント環 R の上にある有限生成加群 M の構造には、特定の形式があります。有限生成加群 M に対して、次のような情報が存在します：ある零でない整イデアルの列 I1 ⊆ … ⊆ In と、階数有限の自由加群 F、さらに可逆イデアル I が存在し、次の同型が成り立ちます。

$$M ext{ } acksimeq ext{ } R/I_1 igoplus ext{ }
u igoplus R/I_n igoplus F igoplus I$$

この式は、加群 M がどういった形で構成されるかを示しています。ここで、イデアル I, I1, …, In および自由加群 Fは、有限生成加群 M に由来し同型を除いて一意的に決定されます。

参考文献

• - Auslander, Maurice; Buchsbaum, David (2014). Groups, Rings, Modules. Dover. [ISBN]] 978-0-486-49082-3.

[書籍リンク

関連項目

• - リヒャルト・デーデキント
• - 主イデアル整域（PID）
• - 一意分解環（UFD）
• - 遺伝環

このようにデデキント環は、整域の中でも特異な性質を持ち、数学のさまざまな分野において重要な役割を果たしています。特に、数論や代数幾何学において、これらの性質を活用することでより深い理解が得られます。

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