閉多様体

閉多様体とは

数学、特に幾何学的トポロジーにおいて、閉多様体（closed manifold）とは、境界を持たないコンパクトな多様体のことです。ここで「コンパクト」とは、直感的には「有限」であるという意味で、数学的にはある種の「収束性」を意味します。

境界が存在しない状況においては、任意のコンパクト多様体は閉多様体とみなされます。閉多様体は、連結な閉多様体の有限個の非交和として表現できるという性質を持っています。

幾何学的トポロジーの主要な目標の一つは、閉多様体がどのくらい存在するか、その構造を明らかにすることです。

例

最も基本的な例として、円があります。円は1次元のコンパクトな多様体であり、境界を持たないため閉多様体です。

その他の閉多様体の例としては、トーラス（ドーナツの表面）やクラインの壺などが挙げられます。これらは2次元の多様体であり、いずれも境界を持ちません。

一方、実数直線はコンパクトではないため、閉多様体ではありません。また、円板はコンパクトな2次元多様体ですが、境界（円周）を持つため、閉多様体とはみなされません。

性質

すべてのコンパクトな位相多様体は、ホイットニーの埋め込み定理により、ある自然数 n に対して、n次元ユークリッド空間 \( \mathbb{R}^n \) に埋め込むことが可能です。

用語の対比

コンパクトな多様体は、位相空間としてコンパクトである多様体を指し、境界を持つ場合も含まれます。より正確には、境界を持つコンパクトな多様体（境界は空集合の場合も含む）と考えることができます。

対照的に、閉多様体は、境界を持たずにコンパクトである多様体です。

一方、開多様体は、コンパクトな連結成分を持たない、境界を持たない多様体を指します。連結な多様体においては、「開」であることと「境界を持たず非コンパクト」であることは同値ですが、連結でない多様体においては、「開」の方がより強い条件となります。例えば、円と直線の非交和は非コンパクトですが、円というコンパクトな成分を含むため、開多様体とはみなされません。

閉多様体の概念は、位相空間における閉集合の概念とは異なります。例えば、境界を含む円板は平面における閉集合ですが、閉多様体ではありません。

物理学における使用

物理学、特に宇宙論においては、「閉宇宙」という概念が登場します。これは、閉多様体であるような宇宙を指すこともありますが、正定数のリッチ曲率を持つ多様体である宇宙を指す場合もあります。

まとめ

閉多様体は、数学において重要な概念であり、その構造を理解することは幾何学的トポロジーの基礎となります。この記事では、閉多様体の定義、例、性質、関連する用語との違いについて解説しました。

参考文献

* Michael Spivak: A Comprehensive Introduction to Differential Geometry. Volume 1. 3rd edition with corrections. Publish or Perish, Houston TX 2005, ISBN 0-914098-70-5.

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