トーラス

トーラス：幾何学から位相幾何学、そして高次元へ

トーラスは、円周を回転させることで生まれる回転面であり、一般的にドーナツのような形状を思い浮かべます。しかし、その数学的な定義や性質は、初等幾何学から位相幾何学、さらには代数幾何学へと広がりを見せます。本稿では、トーラスの様々な側面を多角的に解説します。

1. トーラスの形状と幾何学的性質

最も身近なトーラスは、円を回転させてできる「リングドーナツ型」です。この形状を特徴付けるのは、大円の半径Rと小円の半径r（R>r>0）の2つの値です。大円はトーラスの中心を通る円、小円はトーラスの断面をなす円です。

トーラスの方程式は、デカルト座標系では以下のようになります。

(√(x²+y²)-R)²+z² = r²

媒介変数t, p (0≦t≦2π, 0≦p≦2π) を用いると、より簡潔に表現できます。

x = Rcos(t) + rcos(p)cos(t)
y = Rsin(t) + rcos(p)sin(t)
z = rsin(p)

ここで、tを一定とした曲線をメリディアン（経線）、pを一定とした曲線をロンジチュード（緯線）と呼びます。

パップス＝ギュルダンの定理を用いることで、トーラスの表面積Sと体積Vは容易に計算できます。

S = 4π²rR
V = 2π²r²R

これらの式は、トーラスの表面積が半径r、高さ2πRの円柱の側面積に等しく、体積もこの円柱の体積に等しいことを示しています。

2. 平坦トーラス

平坦トーラスは、曲率が0のトーラスです。通常のドーナツ型のトーラスは曲率を持つため、平坦トーラスを作るには、4次元空間が必要になります。平坦トーラスは、長方形の対辺を張り合わせることで構成できます。上下左右の辺を張り合わせる順番を変えても、4次元空間内では同じトーラスになります。コンピュータゲームにおける、端が繋がった世界地図なども平坦トーラスの一例です。

3. 位相幾何学におけるトーラス

位相幾何学では、トーラスは伸縮や変形を許容されます。「ドーナツとコーヒーカップは同相である」という有名な例が示す通り、コーヒーカップの表面も位相的にはトーラスとみなせます。結び目状のトーラスも、標準的なトーラスと同相ですが、3次元空間内での配置は異なります。

トーラスの基本群は⟨x, y: xyx⁻¹y⁻¹⟩です。また、2次元球面から2つの円板を除去し、その境界に円柱面を貼り付けることによってもトーラスを作ることができます。穴の数を増やすことで、多孔トーラス（例えば二重トーラス）が得られます。穴の数は種数と呼ばれます。

4. 高次元トーラス

n次元トーラス（n-トーラス Tn）は、1次元トーラス（円周S¹）をn個直積したものです。Tnは可換なコンパクトリー群になります。1次元トーラスT¹は、フーリエ級数の理論と深く関わります。

5. 代数トーラス

代数幾何学では、代数群としてトーラスを定義します。ランクrのトーラスは、体の代数的閉包上で(F×)rと同型になります。例えば、一般線型群GL(n,R)に属する対角行列全体はランクnのトーラスを形成します。分裂トーラスと非分裂トーラスが存在します。

まとめ

トーラスは、その単純な形状とは裏腹に、幾何学、位相幾何学、代数幾何学など様々な数学分野において重要な役割を果たす図形です。本稿では、その多様な側面を簡潔に解説しました。より深い理解には、それぞれの分野の専門書を参照することをお勧めします。

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