幾何学的トポロジー
幾何学的トポロジーは、数学の一分野であり、多様体とそれらの間の写像、特に多様体から多様体への埋め込みを研究します。この分野は、代数的トポロジーとは異なるアプローチで、1935年のライデマイスタートーションによるレンズ空間の分類がその原点と言えるでしょう。そこでは、ホモトピー同値でありながら同相ではない空間を識別する必要性が生じ、単純ホモトピー論の基礎が築かれました。
多様体は、低次元と高次元でその振る舞いが大きく異なります。高次元トポロジーは、5次元以上の多様体や、余次元が3次元以上の埋め込みを扱い、一方、低次元トポロジーは、4次元以下の問題や、余次元2以下の埋め込みを扱います。特に次元が4の場合は、位相的には高次元とみなせる一方で、微分同相としては低次元とみなせるため、R4上のエキゾチックな微分構造など、特異な現象が生じます。
次元が5以上の場合、手術理論が有効に機能し、多様体の振る舞いは代数的に制御可能です。しかし、4次元以下では手術理論が適用できず、別の現象が発生します。低次元多様体を理解する一つのアプローチは、「手術理論が機能すると予想されるものが、実際にどのように機能するか」を問い、その差異から低次元の現象を理解することです。
この差異の理由は、手術理論の基礎となるホイットニーの埋め込み定理が、2 + 1次元を必要とするためです。この定理によって、結び目のある球面を「結び目なし」にすることが可能になり、はめ込みの自己交叉を削除できます。次元が5以上であれば、手術理論を適用できますが、4次元では、ホイットニーの円板が新しい捩れを生じさせ、手術が位相的には機能するものの、微分可能ではないという状況が生じます。
幾何学的トポロジーでは、以下のツールが重要となります。
多様体の基本群は、すべての次元において重要な不変量であり、構造の多くを決定します。低次元では可能な基本群は限定されますが、4次元以上では、すべての有限表示群が多様体の基本群となります。
多様体が向きを選べる場合、その多様体は向き付け可能であり、連結な向き付け可能多様体には2つの異なる向き付けが可能です。向き付け可能性の定式化は、ホモロジー論や微分形式を用いて行われます。また、空間の向き付けは、他の空間によってパラメーター化された空間の族の向き付けに一般化できます。
多様体のハンドル分解は、多様体をハンドルという部品に分解する方法であり、CW分割の類似物です。ハンドル分解は、モース理論を通して自然に現れ、ハンドル構造の変形は、サーフ理論と密接に関連します。
局所平坦性は、多様体の中に埋め込まれた部分多様体の性質であり、位相多様体の圏において、滑らかな多様体の場合と同様の役割を果たします。埋め込まれた部分多様体の近傍が、ユークリッド空間の標準的な埋め込みと同相である場合に、局所平坦であると言えます。
一般化されたシェーンフリースの定理は、n-1次元球面がn次元球面に局所平坦に埋め込まれているとき、そのペアが標準的なペアと同相であると主張する定理です。
幾何学的トポロジーの分野は、低次元トポロジー、結び目理論、高次元幾何学トポロジーに分かれます。
低次元トポロジーは、曲面（2次元多様体）、3次元多様体、4次元多様体を扱います。特に、2次元の場合には一意化定理により、すべての曲面は定曲率の計量を持つことが保証されます。3次元の場合には幾何化予想が、すべての3次元多様体は8つの可能な幾何学モデルのうちの1つを持つピースに分解できることを示唆しています。また、2次元トポロジーは複素幾何学として、4次元トポロジーは複素幾何学の観点から研究されます。
結び目理論は、円の3次元ユークリッド空間への埋め込みである結び目を研究します。結び目の同値性は、空間の変形によって一方の結び目から他方へ変換できるかどうかで判断されます。数学者は、この考え方を一般化し、3次元空間や円以外の対象を考慮に入れています。
高次元トポロジーでは、特性類が基本的な不変量であり、手術理論が主要な理論です。特性類は、位相空間上の主バンドルとコホモロジー類を結び付け、バンドルの拡張や切断の有無を測ります。手術理論は、多様体の一部分を切り出して貼り合わせることで新しい多様体を作り出す方法であり、ハンドル分解と密接な関係があります。この方法では、ホモロジーやホモトピー群などの不変量を分析し、多様体の性質を調べることができます。特に、エキゾチック球面の分類は、手術理論が重要なツールであることを示しています。
幾何学的トポロジーは、多様体の構造を深く理解するための豊かな道具立てを提供し、数学の様々な分野に影響を与えています。
多様体は、低次元と高次元でその振る舞いが大きく異なります。高次元トポロジーは、5次元以上の多様体や、余次元が3次元以上の埋め込みを扱い、一方、低次元トポロジーは、4次元以下の問題や、余次元2以下の埋め込みを扱います。特に次元が4の場合は、位相的には高次元とみなせる一方で、微分同相としては低次元とみなせるため、R4上のエキゾチックな微分構造など、特異な現象が生じます。
次元が5以上の場合、手術理論が有効に機能し、多様体の振る舞いは代数的に制御可能です。しかし、4次元以下では手術理論が適用できず、別の現象が発生します。低次元多様体を理解する一つのアプローチは、「手術理論が機能すると予想されるものが、実際にどのように機能するか」を問い、その差異から低次元の現象を理解することです。
この差異の理由は、手術理論の基礎となるホイットニーの埋め込み定理が、2 + 1次元を必要とするためです。この定理によって、結び目のある球面を「結び目なし」にすることが可能になり、はめ込みの自己交叉を削除できます。次元が5以上であれば、手術理論を適用できますが、4次元では、ホイットニーの円板が新しい捩れを生じさせ、手術が位相的には機能するものの、微分可能ではないという状況が生じます。
幾何学的トポロジーでは、以下のツールが重要となります。
基本群
多様体の基本群は、すべての次元において重要な不変量であり、構造の多くを決定します。低次元では可能な基本群は限定されますが、4次元以上では、すべての有限表示群が多様体の基本群となります。
向き付け可能性
多様体が向きを選べる場合、その多様体は向き付け可能であり、連結な向き付け可能多様体には2つの異なる向き付けが可能です。向き付け可能性の定式化は、ホモロジー論や微分形式を用いて行われます。また、空間の向き付けは、他の空間によってパラメーター化された空間の族の向き付けに一般化できます。
ハンドル分解
多様体のハンドル分解は、多様体をハンドルという部品に分解する方法であり、CW分割の類似物です。ハンドル分解は、モース理論を通して自然に現れ、ハンドル構造の変形は、サーフ理論と密接に関連します。
局所平坦性
局所平坦性は、多様体の中に埋め込まれた部分多様体の性質であり、位相多様体の圏において、滑らかな多様体の場合と同様の役割を果たします。埋め込まれた部分多様体の近傍が、ユークリッド空間の標準的な埋め込みと同相である場合に、局所平坦であると言えます。
シェーンフリースの定理
一般化されたシェーンフリースの定理は、n-1次元球面がn次元球面に局所平坦に埋め込まれているとき、そのペアが標準的なペアと同相であると主張する定理です。
幾何学的トポロジーの分野は、低次元トポロジー、結び目理論、高次元幾何学トポロジーに分かれます。
低次元トポロジー
低次元トポロジーは、曲面（2次元多様体）、3次元多様体、4次元多様体を扱います。特に、2次元の場合には一意化定理により、すべての曲面は定曲率の計量を持つことが保証されます。3次元の場合には幾何化予想が、すべての3次元多様体は8つの可能な幾何学モデルのうちの1つを持つピースに分解できることを示唆しています。また、2次元トポロジーは複素幾何学として、4次元トポロジーは複素幾何学の観点から研究されます。
結び目理論
結び目理論は、円の3次元ユークリッド空間への埋め込みである結び目を研究します。結び目の同値性は、空間の変形によって一方の結び目から他方へ変換できるかどうかで判断されます。数学者は、この考え方を一般化し、3次元空間や円以外の対象を考慮に入れています。
高次元幾何学トポロジー
高次元トポロジーでは、特性類が基本的な不変量であり、手術理論が主要な理論です。特性類は、位相空間上の主バンドルとコホモロジー類を結び付け、バンドルの拡張や切断の有無を測ります。手術理論は、多様体の一部分を切り出して貼り合わせることで新しい多様体を作り出す方法であり、ハンドル分解と密接な関係があります。この方法では、ホモロジーやホモトピー群などの不変量を分析し、多様体の性質を調べることができます。特に、エキゾチック球面の分類は、手術理論が重要なツールであることを示しています。
幾何学的トポロジーは、多様体の構造を深く理解するための豊かな道具立てを提供し、数学の様々な分野に影響を与えています。
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