陰伏曲線

数学における陰伏曲線（いんぷくきょくせん、英: implicit curve）は、二変数関数 F(x, y) に対する方程式 F(x, y) = 0 を満たす点 (x, y) の集合として定義される平面上の曲線を指します。この定義における「陰伏的」という言葉は、方程式が変数 x または y のどちらか一方について明示的に解かれた形、例えば y = f(x) となっていないことを意味します。

曲線を記述する方法としては、陽表示（y = f(x) の形）や媒介変数表示（x = x(t), y = y(t) の組）もあります。陽表示は陰伏表示へ容易に変換できますが、その逆は常に可能ではありません。陰伏表示は、陽表示や媒介変数表示では捉えにくい多様で複雑な形状の曲線も表現できる点が特徴です。

関数 F(x, y) が x と y に関する多項式である場合、その陰伏曲線は代数曲線と呼ばれ、代数幾何学の対象となります。

平面陰伏曲線の例は多くあります。直線 `x + 2y - 3 = 0` や円周 `x^2 + y^2 - 4 = 0`、半立方抛物線 `x^3 - y^2 = 0` などは代数曲線の例です。カッシーニの卵形線のようなより複雑な代数曲線や、`sin(x + y) - cos(xy) + 1 = 0` のように多項式でない関数による陰伏曲線も存在します。これらの例が示すように、陰伏曲線は単純なものから非常に複雑な形状まで含みます。

陰伏曲線の局所的な幾何学的性質を解析する上で、陰函数定理が重要な役割を果たします。この定理は、方程式 F(x, y) = 0 が特定の点の近傍で y を x の関数として解ける条件を示唆します。

曲線上の点 `(x₀, y₀)` が「正則点」であるのは、その点での偏微分 `Fₓ` と `Fᵧ` の少なくとも一方がゼロでない場合です。正則点においては、以下の公式により接線、法線、曲率などを計算できます。ここで、偏微分は全て点 `(x₀, y₀)` で評価した値です。

接線: `Fₓ(x - x₀) + Fᵧ(y - y₀) = 0`
法ベクトル: `n(x₀, y₀) = (Fₓ, Fᵧ)`
* 曲率: `κ = (-Fᵧ² Fₓₓ + 2Fₓ Fᵧ Fₓᵧ - Fₓ² Fᵧᵧ) / (Fₓ² + Fᵧ²)^(3/2)`

陰伏曲線の可視化は直感的ではない場合がありますが、計算機を用いることで描画可能です。例えば、曲面 `z = F(x, y)` の高さゼロの等位線として描く手法があります。

陰伏曲線の概念は三次元空間にも拡張されます。空間陰伏曲線は、二つの三変数関数に関する連立方程式 `F(x, y, z) = 0` かつ `G(x, y, z) = 0` を満たす点 (x, y, z) の集合として定義されます。これは、二つの陰伏曲面 `F=0` と `G=0` の交線として解釈されます。

空間陰伏曲線上の点 `(x₀, y₀, z₀)` が正則であるのは、その点における関数 F と G の勾配ベクトル `grad F` と `grad G` の外積がゼロベクトルでない場合です。この外積は、正則点における曲線の接線ベクトルを与えます。

空間陰伏曲線の例としては、二つの平面の交線としての直線、球面と平面の交線としての円周、円柱と平面の交線としての楕円などがあります。

陰伏曲線は、その柔軟性から多様な図形表現に用いられ、数学や関連分野で重要な概念です。

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