陰関数
数学の分野、特に解析学において、陰関数（いんかんすう、implicit function）とは、変数間の関係が方程式 R(x₁, ..., x<0xE2><0x82><0x99>) = 0 の形で「暗黙のうちに」与えられるときに考えられる関数概念です。これは、y = f(x) のように従属変数 y が独立変数 x の明示的な式で表される陽関数（ようかんすう、explicit function）とは対照的です。
陰関数は、与えられた方程式 R(x₁, ..., x<0xE2><0x82><0x99>) = 0 を満たす変数間の関係を利用して、特定の変数（例えば x<0xE2><0x82><0x99>）を他の変数 (x₁, ..., x<0xE2><0x82><0x99>-1) の関数と見なそうとするものです。最も簡単な例は、平面上の単位円を表す方程式 x² + y² - 1 = 0 です。この方程式において、y を x の関数 y = f(x) と考えるとき、f(x) は x² + (f(x))² - 1 = 0 という形で暗黙的に定義されていると言えます。
Rが多変数多項式の場合、方程式 R(x₁, ..., x<0xE2><0x82><0x99>) = 0 を満たす点 (x₁, ..., x<0xE2><0x82><0x99>) 全体の集合は、幾何学的な図形を表します。n=2 の場合は陰曲線、n=3 の場合は陰曲面と呼ばれ、これらは代数幾何学における基本的な研究対象となります。
1. 逆関数: 関数 y = f(x) の逆関数 x = f⁻¹(y) は、陰方程式 y - f(x) = 0 を x について解いたものと見なすことができます。これは、y を独立変数、x を従属変数とする陰関数です。
2. 代数関数: 係数が独立変数（例えば x）の多項式であるような、従属変数（例えば y）に関する多項式方程式、例えば a<0xE2><0x82><0x99>(x)y<0xE2><0x81><0xB9><0xE2><0x82><0x99> + ... + a₀(x) = 0 の解として定義される関数は、代数関数と呼ばれ、陰関数の一種です。単位円の方程式から得られる y = ±√1 - x² は簡単な代数関数です。五次以上の一般の方程式のように、陽な形で解を表せない場合でも、方程式が定義する関係を陰関数として捉えることは可能です。
陰関数として定義される関係は、必ずしも定義域全体で「一つの入力に対して一つの出力が定まる」という関数（一価関数）になるとは限りません。単位円の例では、一つの x に対して y の値が ±√1 - x² の二つ存在する場合があります。また、方程式によっては、例えば x = 0 という垂直線の方程式のように、y を x の関数として全く定義できない場合もあります。有効な陰関数として扱うためには、通常、グラフのごく一部に限定したり、複数の「枝」に分けて考える必要があります。これらの問題に対し、陰関数定理は、いつ陰関数が存在し、どのような性質を持つか（例えば滑らかであるか）についての十分条件を提供します。
陰関数で与えられた関係式から導関数を求める際、多くの場合、陽な形に解き出すのは困難です。代わりに用いられる手法が陰関数微分です。これは、関係式 R(x, y) = 0 の両辺を独立変数 x で微分し、連鎖律を適用することで、導関数 dy/dx を含む方程式を得る方法です。例えば、R(x, y) = 0 の両辺を x で微分すると、(∂R/∂x) + (∂R/∂y)(dy/dx) = 0 となります。ここで、∂R/∂y ≠ 0 であれば、dy/dx = - (∂R/∂x) / (∂R/∂y) と導関数を x と y の式として求めることができます。
陰関数定理は、方程式 R(x, y) = 0 とその解である点 (a, b) が与えられたとき、その点の十分小さな近傍で y を x の滑らかな陰関数 y = f(x) として定義できるための条件を与える中心的な定理です。直感的には、点 (a, b) においてグラフの接線が垂直でない（すなわち、∂R/∂y(a, b) ≠ 0 である）という条件が満たされれば、局所的に y が x の関数として振る舞うことが保証されます。この定理は、陰関数が存在し、微分可能であることの数学的な保証を与えるものです。
陰関数は、陽な形で表現するのが難しい、あるいは不可能な場合でも、方程式によって定まる変数間の関係性を関数として捉える強力な概念です。解析学における陰関数微分や、その存在を保証する陰関数定理は、この概念を扱う上で不可欠な道具であり、微分方程式、代数幾何学など、幅広い数学分野に応用されています。
定義と例
陰関数は、与えられた方程式 R(x₁, ..., x<0xE2><0x82><0x99>) = 0 を満たす変数間の関係を利用して、特定の変数（例えば x<0xE2><0x82><0x99>）を他の変数 (x₁, ..., x<0xE2><0x82><0x99>-1) の関数と見なそうとするものです。最も簡単な例は、平面上の単位円を表す方程式 x² + y² - 1 = 0 です。この方程式において、y を x の関数 y = f(x) と考えるとき、f(x) は x² + (f(x))² - 1 = 0 という形で暗黙的に定義されていると言えます。
陰曲線・陰曲面
Rが多変数多項式の場合、方程式 R(x₁, ..., x<0xE2><0x82><0x99>) = 0 を満たす点 (x₁, ..., x<0xE2><0x82><0x99>) 全体の集合は、幾何学的な図形を表します。n=2 の場合は陰曲線、n=3 の場合は陰曲面と呼ばれ、これらは代数幾何学における基本的な研究対象となります。
様々な陰関数
1. 逆関数: 関数 y = f(x) の逆関数 x = f⁻¹(y) は、陰方程式 y - f(x) = 0 を x について解いたものと見なすことができます。これは、y を独立変数、x を従属変数とする陰関数です。
2. 代数関数: 係数が独立変数（例えば x）の多項式であるような、従属変数（例えば y）に関する多項式方程式、例えば a<0xE2><0x82><0x99>(x)y<0xE2><0x81><0xB9><0xE2><0x82><0x99> + ... + a₀(x) = 0 の解として定義される関数は、代数関数と呼ばれ、陰関数の一種です。単位円の方程式から得られる y = ±√1 - x² は簡単な代数関数です。五次以上の一般の方程式のように、陽な形で解を表せない場合でも、方程式が定義する関係を陰関数として捉えることは可能です。
注意点：一価性や存在の問題
陰関数として定義される関係は、必ずしも定義域全体で「一つの入力に対して一つの出力が定まる」という関数（一価関数）になるとは限りません。単位円の例では、一つの x に対して y の値が ±√1 - x² の二つ存在する場合があります。また、方程式によっては、例えば x = 0 という垂直線の方程式のように、y を x の関数として全く定義できない場合もあります。有効な陰関数として扱うためには、通常、グラフのごく一部に限定したり、複数の「枝」に分けて考える必要があります。これらの問題に対し、陰関数定理は、いつ陰関数が存在し、どのような性質を持つか（例えば滑らかであるか）についての十分条件を提供します。
陰関数微分
陰関数で与えられた関係式から導関数を求める際、多くの場合、陽な形に解き出すのは困難です。代わりに用いられる手法が陰関数微分です。これは、関係式 R(x, y) = 0 の両辺を独立変数 x で微分し、連鎖律を適用することで、導関数 dy/dx を含む方程式を得る方法です。例えば、R(x, y) = 0 の両辺を x で微分すると、(∂R/∂x) + (∂R/∂y)(dy/dx) = 0 となります。ここで、∂R/∂y ≠ 0 であれば、dy/dx = - (∂R/∂x) / (∂R/∂y) と導関数を x と y の式として求めることができます。
陰関数定理
陰関数定理は、方程式 R(x, y) = 0 とその解である点 (a, b) が与えられたとき、その点の十分小さな近傍で y を x の滑らかな陰関数 y = f(x) として定義できるための条件を与える中心的な定理です。直感的には、点 (a, b) においてグラフの接線が垂直でない（すなわち、∂R/∂y(a, b) ≠ 0 である）という条件が満たされれば、局所的に y が x の関数として振る舞うことが保証されます。この定理は、陰関数が存在し、微分可能であることの数学的な保証を与えるものです。
まとめ
陰関数は、陽な形で表現するのが難しい、あるいは不可能な場合でも、方程式によって定まる変数間の関係性を関数として捉える強力な概念です。解析学における陰関数微分や、その存在を保証する陰関数定理は、この概念を扱う上で不可欠な道具であり、微分方程式、代数幾何学など、幅広い数学分野に応用されています。
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